Quantum U-statistics
Quantum U-statistics
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量子U统计
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发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
C. Butucea
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Guţă;C. Butucea
与经典（交换）情况类似，引入了相同量子系统的 $n$ 元组的 $U$ 统计量的概念：给定一个作用于 $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes r}$ 且 $r<n$ 的自伴“核”$K$，我们定义对称算子 $U_{n}= {n \choose r} \sum_{\beta}K^{(\beta)}$ 其中 $K^{(\beta)}$ 是作用于 $\{1,\dots ,n\}$ 的子集 $\beta$ 的内核。如果系统在 i.i.d 状态 $\rho^{\otimes n}$ 下准备，则表明正确归一化的 $U$ 统计量序列在时刻收敛到通过量子中心极限定理定义的 CCR 代数的规范变量中埃尔米特多项式的线性组合。在非退化核和 $2$ 阶核的特殊情况下，表明收敛在更强的分布意义上成立。描述了量子统计中的两种类型的应用：超出两个简单假设场景的测试，以及具有相互作用的哈密顿量的量子计量。
The notion of a $U$-statistic for an $n$-tuple of identical quantum systems is introduced in analogy to the classical (commutative) case: given a selfadjoint `kernel' $K$ acting on $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes r}$ with $r<n$, we define the symmetric operator $U_{n}= {n \choose r} \sum_{\beta}K^{(\beta)}$ with $K^{(\beta)}$ being the kernel acting on the subset $\beta$ of $\{1,\dots ,n\}$. If the systems are prepared in the i.i.d state $\rho^{\otimes n}$ it is shown that the sequence of properly normalised $U$-statistics converges in moments to a linear combination of Hermite polynomials in canonical variables of a CCR algebra defined through the Quantum Central Limit Theorem. In the special cases of non-degenerate kernels and kernels of order $2$ it is shown that the convergence holds in the stronger distribution sense. Two types of applications in quantum statistics are described: testing beyond the two simple hypotheses scenario, and quantum metrology with interacting hamiltonians.