Convergence of the largest singular value of a polynomial in independent Wigner matrices
Convergence of the largest singular value of a polynomial in independent Wigner matrices
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DOI：
10.1214/11-aop739
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发表时间：
2011-03
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
G. Anderson
中科院分区：
文献类型：
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作者：
G. Anderson
对于独立维格纳矩阵中的多项式，我们在四阶矩假设下证明了最大奇异值收敛于自由半圆变量中相应多项式的算子范数。我们实际上证明了“在限制特征值分布的支持之外没有特征值”形式的更一般结果。我们一方面以 Haagerup-Schultz-Thorbj{\o}rnsen 的思想为基础，另一方面以 Bai-Silverstein 的思想为基础。我们改进了线性化技巧以保持自伴性，并且我们开发了与校正项的计算有关的辅助技巧。我们使用各种矩阵恒等式和 $L^p$ 估计，而不是 Poincar\'{e} 型不等式。施温格-戴森方程控制着大部分分析。
For polynomials in independent Wigner matrices, we prove convergence of the largest singular value to the operator norm of the corresponding polynomial in free semicircular variables, under fourth moment hypotheses. We actually prove a more general result of the form "no eigenvalues outside the support of the limiting eigenvalue distribution." We build on ideas of Haagerup-Schultz-Thorbj{\o}rnsen on the one hand and Bai-Silverstein on the other. We refine the linearization trick so as to preserve self-adjointness and we develop a secondary trick bearing on the calculation of correction terms. Instead of Poincar\'{e}-type inequalities, we use a variety of matrix identities and $L^p$ estimates. The Schwinger-Dyson equation controls much of the analysis.