Kato square root problem with unbounded leading coefficients
Kato square root problem with unbounded leading coefficients
复制标题
具有无界首项系数的加藤平方根问题
DOI：
10.1090/proc/14224
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发表时间：
2017
影响因子：
1
通讯作者：
S. Hofmann
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
L. Escauriaza;S. Hofmann
<p>我们证明了椭圆算子的加藤猜想，<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L 等于减去 nabla 点 left-parenthesis left-parenthesis 粗体上 A 加粗上 D 右括号 nabla right-parenthesis">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:月>(</mml:月>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mtext> </mml:mtext>
<mml：月>）</mml：月>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">L=-\nabla \cdot \left ((\mathbf A+\mathbf D)\nabla \ \right )</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>，与 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper A">
<mml：语义>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">\mathbf A</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 复杂的可测量有界强制矩阵和 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper D">
<mml：语义>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">\mathbf D</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> 中的可测量实值斜对称矩阵
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="双打上 R 上标 n">
<mml：语义>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">\mathbb {R}^n</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 包含 <inline-formula content-type="math/mathml"> 中的条目
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="上B 上M 上O 左括号双打上R 上标n 基线右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>O</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">BMO(\mathbb {R}^n)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式>； 即 <inline-formula content-type="math/mathml"> 的域
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartRoot 上 L EndRoot">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml：msqrt>
<mml:mspace width="thinmathspace" />
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">\sqrt {L}\,</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 是 Sobolev 空间 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove 上 H 带点 上标 1 基线左括号 双线上 R 上标 n 基线右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml：移动者>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mo>˙<!-- ˙ --></mml:mo>
</mml：移动者>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">\dot H^1(\mathbb {R}^n)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 在任何维度，估计 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar StartRoot upper L EndRoot f double-vertical-bar 下标 2 基线小于或等于 double-vertical-bar nabla f double-vertical-bar 下标 2">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mo fence="false"stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml：msqrt>
<mml:mspace width="thinmathspace" />
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false"stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml：msub>
<mml:mo>≲<!-- ≲ --></mml:mo>
<mml:mo fence="false"stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false"stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml：msub>
</mml:mrow>
<mml:注释编码=“application/x-tex”>\|\sqrt {L}\, f\|_2 \lesssim \| \nabla f\|_2</mml:注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式>。</p>
<p>We prove the Kato conjecture for elliptic operators, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L equals minus nabla dot left-parenthesis left-parenthesis bold upper A plus bold upper D right-parenthesis nabla right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mtext> </mml:mtext>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">L=-\nabla \cdot \left ((\mathbf A+\mathbf D)\nabla \ \right )</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, with <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper A">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> a complex measurable bounded coercive matrix and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper D">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf D</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> a measurable real-valued skew-symmetric matrix in <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> with entries in <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B upper M upper O left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>O</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">BMO(\mathbb {R}^n)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>; i.e., the domain of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartRoot upper L EndRoot">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="thinmathspace" />
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\sqrt {L}\,</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is the Sobolev space <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper H With dot Superscript 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mover>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mo>˙<!-- ˙ --></mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\dot H^1(\mathbb {R}^n)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> in any dimension, with the estimate <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar StartRoot upper L EndRoot f double-vertical-bar Subscript 2 Baseline less-than-or-equivalent-to double-vertical-bar nabla f double-vertical-bar Subscript 2">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="thinmathspace" />
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>≲<!-- ≲ --></mml:mo>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\|\sqrt {L}\, f\|_2 \lesssim \| \nabla f\|_2</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>