Hadamard differentiability via Gâteaux differentiability
Hadamard differentiability via Gâteaux differentiability
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通过 Gâteaux 可微性进行 Hadamard 可微分
DOI：
10.1090/s0002-9939-2014-12228-3
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
L. Zajícek
中科院分区：
文献类型：
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作者：
L. Zajícek
设$X$为可分巴拿赫空间，$Y$为巴拿赫空间，$f: X \to Y$为映射。
我们证明了$\sigma$ -方向多孔集$A\subset X$的存在，使得$x\in X \setminus A$、$f$在$x$是Lipschitz， $f$在$x$是g<e:1>可微的，那么$f$在$x$是Hadamard可微的。
如果$f$是Borel可测的（或具有Baire性质）并且在所有点上都是G ^ ateaux可微的，那么$f$除了一个集是$\sigma$ -方向多孔集外，在所有点上都是Hadamard可微的（Aronszajn null， Haar null和$\Gamma$ -null也是如此）。因此，除无处稠密的$\sigma$ -多孔集外，处处G ^ atex可微$f: \R^n \to Y$为处处G ^ atex可微。
Let $X$ be a separable Banach space, $Y$ a Banach space and $f: X \to Y$ a mapping.
We prove that there exists a $\sigma$-directionally porous set $A\subset X$ such that if $x\in X \setminus A$, $f$ is Lipschitz at $x$, and $f$ is G\^ateaux differentiable at $x$, then $f$ is Hadamard differentiable at $x$.
If $f$ is Borel measurable (or has the Baire property) and is G\^ ateaux differentiable at all points, then $f$ is Hadamard differentiable at all points except a set which is $\sigma$-directionally porous set (and so is Aronszajn null, Haar null and $\Gamma$-null). Consequently, an everywhere G\^ ateaux differentiable $f: \R^n \to Y$ is Fr\' echet differentiable except a nowhere dense $\sigma$-porous set.