On local finite dimensional approximation of C∗-algebras
On local finite dimensional approximation of C∗-algebras
复制标题
DOI：
10.2140/pjm.1997.181.141
复制
发表时间：
1997-11
影响因子：
0.6
通讯作者：
S. Popa
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Popa
回想一下，如果一个C * -代数a可以忠实地表示在希尔伯特空间H上，使得存在有限维向量子空间Hi∧H，其中Hi∧H和lim i‖[projHi， x]‖= 0,∀x∈a（参见例子[V2]），则它被称为拟对角代数a。根据Voiculescu的定理（[V1]），如果A是简单的，那么这个性质实际上不依赖于表示A的希尔伯特空间，因此它可以用以下局部有限维近似性质重新表述：一个简单C * -代数是拟对角的，如果对于希尔伯特空间H上的A的任何表示，任何有限集合F∧A和e∧0 0，存在一个有限维向量子空间0 6= H0∧H使得‖[projH0， x]‖0，存在一个在A0上有投影的1A的分割，{pj}1≤j≤n∧P(A0)，以及标量{αj}1≤j≤n∧C，使得‖pjxpj−αjpj‖< e, 1≤j≤n。”
Recall that a C∗-algebra A is called quasidiagonal if it can be represented faithfully on a Hilbert space H such that there exist finite dimensional vector subspaces Hi ⊂ H, with Hi ↗ H and lim i ‖[projHi , x]‖ = 0, ∀ x ∈ A (see e.g., [V2]). By Voiculescu’s theorem ([V1]), if A is simple then this property doesn’t in fact depend on the Hilbert space on which A is represented, so that it can be reformulated in terms of the following local finite dimensional approximation property: A simple C∗-algebra is quasidiagonal if for any representation of A on a Hilbert space H, any finite set F ⊂ A and any e > 0, there exists a finite dimensional vector subspace 0 6= H0 ⊂ H such that ‖[projH0 , x]‖ 0, there exist a partition of 1A with projections in A0, {pj}1≤j≤n ⊂ P(A0), and scalars {αj}1≤j≤n ⊂ C, such that ‖pjxpj− αjpj‖ < e, 1 ≤ j ≤ n.”