楕円曲線に付随する非可換拡大における新たな数論の研究

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昨年度に引き続き、楕円曲線のp冪等分体(pは素数)のイデアル類群を研究した。等分体のイデアル類群をGalois加群として扱うとき、その大きさを下から評価するには適切なガロアコホモロジー群の中の不分岐な類の存在が重要である。適当な条件下で、p-Selmer群をpの惰性群に制限する写像の核は、そのような不分岐な類からなる。従来のPrasad-Shekharの研究などでは、その核を用いて不分岐なコホモロジー類のなす空間を下から評価し、不分岐な類の存在/非存在を考察していた。本年度行った研究では、楕円曲線上の有理点のなす群の中に、ある局所条件を満足する点のなす部分群を定義し、それを用いて等分体のイデアル類群を下から評価した。上に述べたSelmer群上の制限写像の核に比較して、上記の有理点の群は明示的な考察が容易である。実際、いくつかの場合に上記の有理点の群が非自明になる十分条件を明示的に与えることができた。さらに位数無限大の有理点に対して、その点が上記の群に属する十分条件を、有理点の(p進)形式logによる値を用いて明示的に与える事ができた。その結果、Prasad-Shekharの研究を含む従来の結果の多くを部分的に改善することができた。特に今年度の研究成果は、従来は取り扱いが困難であったTate-Shafarevich群のp部分が自明で、階数が1以下である楕円曲線の等分点のイデアル類群を調べることに応用できる。さらにこの成果は、当初目標としていた楕円曲線の(p進)L関数と等分体のイデアル類群との関係性を調べることにも応用できると考えている。