楕円曲線に付随する非可換拡大における新たな数論の研究

椭圆曲线非交换扩张中的新数论研究

基本信息

批准号：
21J13502
负责人：
臺信直人
金额：
$ 0.96万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-28 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度に引き続き、楕円曲線のp冪等分体(pは素数)のイデアル類群を研究した。等分体のイデアル類群をGalois加群として扱うとき、その大きさを下から評価するには適切なガロアコホモロジー群の中の不分岐な類の存在が重要である。適当な条件下で、p-Selmer群をpの惰性群に制限する写像の核は、そのような不分岐な類からなる。従来のPrasad-Shekharの研究などでは、その核を用いて不分岐なコホモロジー類のなす空間を下から評価し、不分岐な類の存在/非存在を考察していた。本年度行った研究では、楕円曲線上の有理点のなす群の中に、ある局所条件を満足する点のなす部分群を定義し、それを用いて等分体のイデアル類群を下から評価した。上に述べたSelmer群上の制限写像の核に比較して、上記の有理点の群は明示的な考察が容易である。実際、いくつかの場合に上記の有理点の群が非自明になる十分条件を明示的に与えることができた。さらに位数無限大の有理点に対して、その点が上記の群に属する十分条件を、有理点の(p進)形式logによる値を用いて明示的に与える事ができた。その結果、Prasad-Shekharの研究を含む従来の結果の多くを部分的に改善することができた。特に今年度の研究成果は、従来は取り扱いが困難であったTate-Shafarevich群のp部分が自明で、階数が1以下である楕円曲線の等分点のイデアル類群を調べることに応用できる。さらにこの成果は、当初目標としていた楕円曲線の(p進)L関数と等分体のイデアル類群との関係性を調べることにも応用できると考えている。

从去年开始，我们研究了椭圆曲线的理想的p-思想划分组（P是质量数）。当将等分试样视为Galois群体时，在适当的Galois共同体学组中存在公正的物种对于评估其大小从底部评估它们的大小很重要。在适当的条件下，地图的核限制了P-Selmer组为p-Inderage组，由此类无分组组成。在常规的Prasad-Shekhar研究中，该细胞核被用来评估底部未分支的共同体形成的空间，并考虑了存在/不存在无分支的共同体学。在今年的研究中，我们定义了满足椭圆曲线上理性点之间某个局部条件的点的亚组，并使用它们从底部评估了均等分裂理想的群体。与上述SELMER组的限制图的核相比，上述合理点很容易明确考虑。实际上，在某些情况下，可以明确地为上述理性点提供足够的条件，以使其变得非凡。此外，对于具有无限顺序的合理点，可以使用（p-nerterior）形式的纪录来明确给出该点属于上述组的足够条件。结果，包括Prasad-Shekhar研究在内的许多常规结果能够部分改善。特别是，今年的研究结果可以应用于检查椭圆曲线相等的理想组的理想群体，在泰特·沙法雷维奇小组的p一部分中显而易见，这些曲线以前很难处理，其等级小于1。