超ケーラー多様体のトロピカル類似におけるリーマン=ロッホの定理の研究

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本年度は、前年度に示した整Hesse多様体やトロピカル曲線上の適当な条件を満たす因子のトロピカル類似の一種に対して定義した次数つきZ加群のEuler数をRiemann-Rochの定理のようにChern類の言葉で書くという問題を超Kaehler多様体のトロピカル類似やより一般のトロピカル空間の場合に対して考察した。今年度得られた成果は次の通りである。まず前年度考案した枠組みを超局所層理論の言葉を用いて精密化し、境界を持たないトロピカル多様体や特異点つき整アフィン多様体上の適当な条件を満たす因子のトロピカル類似に対して次数つきZ加群を定義することができた。結果として、前年度の際に因子のトロピカル類似に課していた条件を更に緩めることに成功した。ただし、特異点つき整アフィン多様体上の場合は、よい定義であるかの検証が不十分であり、今後修正される可能性がある。次に因子のトロピカル類似に課す条件を少し強めることで、二つの異なるトロピカル多様体上の因子の外部テンソル積に対してKunneth型の公式が成り立つことを層論におけるThom-Sebastianiの公式を用いることによって示した。これとMacdonaldの公式を利用することで、複素代数曲面上の直線束Lから誘導される代数曲面の点のHilbertスキーム上の直線束のEuler数がLのEuler数を用いた二項係数によって書かれることのトロピカル類似を示した。これより、元のトロピカル多様体に対してRiemann-Rochの定理の類似が成立するなら、その対称積上に自然と誘導される因子のトロピカル類似に対してRiemann-Rochの定理の類似が成立することがわかる。そのため、本研究で定式化した次数つきZ加群のEuler数が代数多様体上の直線束の層コホモロジーのEuler数の適切な類似となっていることのより強い根拠を得ることができた。