Analysis of the Topological Structure of the functor category of Cohen-Macaulay modules and its applications to representation types of algebras

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2022年度はGorenstein局所環上の直既約な有限生成極大Cohen-Macaulay（MCM）加群の同型類のなす集合（のべき集合）に対して関手圏に由来する位相を導入し、その構造について調べた。これはKrause[1997]の類似の考察である。有限生成関手を零にするMCM加群で閉集合を定めることによって位相を定める。この視点の考察はZiegler[1984]に端を発し様々な研究がある。これまでの研究は無限生成加群の枠組みでなされている。今回の考察では有限性加群の枠組みで行なっており、その点が他と異なる。この位相空間はT_0空間になる。また表現論の観点からの結果として、直既約なMCM加群が孤立点になることとそのMCM加群がAuslander-Reiten列を持つことが同値であることがわかった。また準コンパクトになることと基礎環が有限表現型になることが同値であることなどもわかった。さらには基礎環が加算表現型を持つ超曲面環の場合に先の位相によるCantor-Bendixson（CB）階数について計算を行った。有限表現型を持つ場合のCB階数は0になること、加算A、D表現型を持つ超曲面環の場合にはCB階数が１であることがわかった。これは昨年度実施したKrull-Gabriel次元の考察と関連があり、今後の深化を期待するものであると考えている。なお2022年度の前半では加群の退化理論について、推移性を満たさない例の考察を行っている。残念ながらこれまでの手法では退化の判定ができないことがわかった。