Studies in gauge theoretic deformation invariants and their generating functions

点击翻译按钮获取中文摘要

前年度にKuhn氏と共同で射影曲面上の数え上げ不変量の爆発公式を得ていたが，それを用いて射影曲面上の半安定層のモジュライ空間の仮想chi_y種数の生成関数の爆発公式をKuhn氏およびLeigh氏との共同研究で証明した．射影曲面上の半安定層のモジュライ空間の仮想chi_y種数はK理論的Vafa-Witten不変量のインスタントン部分と同一視されるものであり，y=1の場合それはVafa-Witten不変量のインスタントン部分，すなわち，仮想Euler標数を与える． GoettscheとKoolは射影曲面上の半安定層のモジュライ空間の仮想chi_y種数の生成関数が普遍関数とSeiberg-Witten不変量を用いて記述できるであろうという予想を提議し幾つかの例で確認しているが，我々の爆発公式を用いると安定層の階数が2のときは彼らの普遍関数をそれが存在する場合は完全に決定することができる．驚くべきことにそれは物理学的議論を用いるVafa-Wittenらによる生成関数の保型性に関する予想と一致する．また，我々の爆発公式を射影曲面上の他の数え上げ不変量に適用し，いくつかの場合にそれらの生成関数の持つ性質を調べるという研究も進めた．さらに，射影曲面上の数え上げ不変量をいくつかの例で具体的に計算するという研究も行った．