プロクラステス距離の一般化を軸としたエッシャータイリング自動生成法の深化

令和４年度は2種類の目標図形に対するエッシャータイリングの生成法の開発を行った．すなわち，2種類の目標図形になるべく類似した2種類の図形を用いた平面のタイリングを生成する方法の開発を行った．この手法は令和３年度に開発した1種類の目標図形に対してエッシャータイリングを生成する方法を拡張したものである．主な特徴として目標図形とタイル図形をメッシュで表現し，2つの図形の類似度をAs-rigid-as possible deformationと呼ばれるテクニックに基づいて評価する．この評価尺度を最小化するように最適化を行うことで，目標図形の局所特徴をなるべく保持した変形により平面を隙間なく敷き詰めることが可能なタイル形状を得ることが可能になる．しかし，このテクニックを2種類の目標図形の場合に拡張する場合には解くべき最適化問題が複雑になってしまう問題や，解くべき最適化問題の数が膨大になりすぎて現実的な計算時間で計算を行うことが困難であると言った問題があった．令和４年度の研究ではそれらを解決する方法を開発し，計算機実験により，想定する結果が得られることを確認した．現在はこの結果を公表するための論文を執筆しているところである．また，同じく令和３年度に開発した1種類の目標図形に対してエッシャータイリングを生成する方法を，球面上のタイリングに拡張するための方法を検討した．予備的な実験によりこれが可能であることは確認できたが，目標図形に類似したタイル形状を得ることが難しいことが分かってきており，この点を解決する方法の開発が必要である．

令和４年度は2種類の目標図形に対するエッシャータイリングの生成法の開発を行った．すなわち，2種類の目標図形になるべく類似した2種類の図形を用いた平面のタイリングを生成する方法の開発を行った．この手法は令和３年度に開発した1種類の目標図形に対してエッシャータイリングを生成する方法を拡張したものである．主な特徴として目標図形とタイル図形をメッシュで表現し，2つの図形の類似度をAs-rigid-as possible deformationと呼ばれるテクニックに基づいて評価する．この評価尺度を最小化するように最適化を行うことで，目標図形の局所特徴をなるべく保持した変形により平面を隙間なく敷き詰めることが可能なタイル形状を得ることが可能になる．しかし，このテクニックを2種類の目標図形の場合に拡張する場合には解くべき最適化問題が複雑になってしまう問題や，解くべき最適化問題の数が膨大になりすぎて現実的な計算時間で計算を行うことが困難であると言った問題があった．令和４年度の研究ではそれらを解決する方法を開発し，計算機実験により，想定する結果が得られることを確認した．現在はこの結果を公表するための論文を執筆しているところである．また，同じく令和３年度に開発した1種類の目標図形に対してエッシャータイリングを生成する方法を，球面上のタイリングに拡張するための方法を検討した．予備的な実験によりこれが可能であることは確認できたが，目標図形に類似したタイル形状を得ることが難しいことが分かってきており，この点を解決する方法の開発が必要である．