圧縮センシングによる超解像の統計力学的解析と拡散方程式逆問題への応用

本研究の主たるテーマは超解像であるが，その基礎として，相関を有するデータに対する圧縮センシングの平均的性能の解明が必要である．圧縮センシングとは，推測対象について多数の特徴を事前に用意することにより，少数データからでも推測を可能にするもので，原理的に最も高性能な統計的推測手法である．しかし，圧縮センシングを実問題へ応用する際に本質的役割を果たす，辞書行列については不明な点が多い．例えば，情報内の相関の強さと辞書行列の縦横比の最適な関係について，定性的にはその性質を理解できるものの，定量的には明らかにされていない．そこで，画像処理への応用に必要な画像辞書を例に，辞書の最適な縦横比の解析的評価の研究に今年度も取り組んだ．具体的には，統計物理学のレプリカ法を応用して，「劣化画像の復元問題」の解の，大自由度極限における典型的な振る舞いを解析的に評価することが課題である．そこで，上記問題の解の典型的な振る舞いを記述する非線形連立方程式を導出し，その完全復元解を基点とした，モデルのパラメータに関する2次までの摂動解析を行った．また，解析結果のパラメータ空間における適用可能範囲と解の一意性を意味する「レプリカ対称性」が，パラメータ空間内のどの領域において成立するか解明した．これにより例えば，「画像を疎符号化により表現したとき，画像辞書の縦横比を厳密に調整しなくても，高い推測性能が得られる．」といった経験的事実を説明することが可能となった．更に，画像内の相関の強さを制御するパラメータと疎符号化の疎性パラメータの値に対して，辞書行列の最適な縦横比が，レプリカ対称性の成立限界を意味するAT線により与えられることを明らかにした．本研究の本来の課題である超解像では，辞書行列は低解像度画像と高解像度画像の両方に対応する部分から構成されるので，上述の研究成果を直接的に応用することを計画している．

本研究の主たるテーマは超解像であるが，その基礎として，相関を有するデータに対する圧縮センシングの平均的性能の解明が必要である．圧縮センシングとは，推測対象について多数の特徴を事前に用意することにより，少数データからでも推測を可能にするもので，原理的に最も高性能な統計的推測手法である．しかし，圧縮センシングを実問題へ応用する際に本質的役割を果たす，辞書行列については不明な点が多い．例えば，情報内の相関の強さと辞書行列の縦横比の最適な関係について，定性的にはその性質を理解できるものの，定量的には明らかにされていない．そこで，画像処理への応用に必要な画像辞書を例に，辞書の最適な縦横比の解析的評価の研究に今年度も取り組んだ．具体的には，統計物理学のレプリカ法を応用して，「劣化画像の復元問題」の解の，大自由度極限における典型的な振る舞いを解析的に評価することが課題である．そこで，上記問題の解の典型的な振る舞いを記述する非線形連立方程式を導出し，その完全復元解を基点とした，モデルのパラメータに関する2次までの摂動解析を行った．また，解析結果のパラメータ空間における適用可能範囲と解の一意性を意味する「レプリカ対称性」が，パラメータ空間内のどの領域において成立するか解明した．これにより例えば，「画像を疎符号化により表現したとき，画像辞書の縦横比を厳密に調整しなくても，高い推測性能が得られる．」といった経験的事実を説明することが可能となった．更に，画像内の相関の強さを制御するパラメータと疎符号化の疎性パラメータの値に対して，辞書行列の最適な縦横比が，レプリカ対称性の成立限界を意味するAT線により与えられることを明らかにした．本研究の本来の課題である超解像では，辞書行列は低解像度画像と高解像度画像の両方に対応する部分から構成されるので，上述の研究成果を直接的に応用することを計画している．