ゼータ関数を用いた符号と不変式および暗号の数論的構造の研究

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本年度は、線型符号のゼータ関数に関する研究を引き続き行なった。これは、1999 年に Duursma によって導入された比較的新しいゼータ関数であり、符号の重み多項式の母関数になっているようなものである。特に自己双対符号の場合に、よい符号はリーマン予想を満たすか、という問いが提唱され、応用、整数論両面で興味が持たれてきた歴史がある。具体的には、extremal と呼ばれる一連の自己双対符号はリーマン予想を満たすか、という問題である。これは一部の系列を除き、完全には解決されていない。さらに研究代表者らによって、必ずしも線型符号と関連をもたない不変式にも拡張され、さまざまな性質が明らかにされてきた。その中で興味深い事実として、符号と関連をもたない不変式の集合には、extremal と呼んでよい不変式で、リーマン予想を満たさないものがある、といったことが挙げられる（Chinen, 2019）。一方で、自己双対符号の重み多項式にきわめて近い不変式においては、実在の符号の場合と類似の性質が証明されてもいる（Chinen, 2020）。直近の研究代表者らの結果として、種数が３および４の自己双対重み多項式の場合に、そのゼータ関数がリーマン予想を満たすための一つの必要十分条件を導出したものがある（Chinen-Imamura, 2021）。これには種数が３未満の場合の先行研究があり（Nishimura, 2008）、それの拡張となっている。しかし、先行研究とは手法が異なっており、よりすっきりと整理された形で証明が可能であった。本年度は、この方向のさらなる拡張を試みるための考察を行なった。具体的成果はまだであるが、一定の結果を得られるのではないかという見通しを得ることができている。