微分方程式の特異点の合流，ルート系の退化，そしてモジュライ空間の変形理論

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今年度はKatzのミドルコンボリューションのホモロジー的定式化に関する研究を行った．ミドルコンボリューションは元来Katzによって偏屈層によって定式化されていたものを，VolkleinやDettweiler-Reiterによって行列の組への操作とし再定化がなさていた．この行列を用いた定式化によって，ミドルコンボリューションや微分方程式のモジュライ空間が箙の表現やその鏡映関手と結びついて理論が大きく発展してきた．その反面，行列による定式化は基本群の生成系や表現空間の基底の取り方に強く依存しており，またKatzによる元来の定義では明確であった様々な関手的性質などが見えにくくなってしまうという欠点もあった．こうした背景のもとで，偏屈層による定式化と行列による定式化をつなぐために，局所系を係数とするホモロジー群を用いてミドルコンボリューションを再定式化して整理をした．こうしたことでミドルコンボリューションの持つ関手性，そして積分変換であるEuler変換との対応，そして基底を固定した際のモノドロミー群の具体的計算法，などが統一的に理解できるようなった．さらにその恩恵として，このホモロジー的再定式化を経由することで，これまで穴の空いたリーマン球面上のモノドロミー表現にのみ定義されていたミドルコンボリューションが，より広い位相多様体の上で定義されたモノドロミー表現への自然に拡張されることが示される．特にこれによって，ミドルコンボリューションの枠組みを，組紐群の表現，結目群の表現，超平面配置の補空間の基本群の表現，などに自然に拡張できた．