離散化した超対称ゲージ理論に基づく量子重力の探求

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本年度は、前年度に発見した、離散化したN=(2,2)超対称ゲージ理論のフェルミオン・ゼロモードの問題を解決するプロセスで、グラフゼータ関数と格子ゲージ理論の間に密接な関係があることを見いだした。きっかけは、このゼロモードをキャンセルするために挿入する演算子を構成しようと試みたことである。その過程で構成された演算子のひとつが、1992年にKazakovとMigdalによって発見された模型（KM模型）の作用と同じ形をしており、その期待値がグラフのサイクルを数え上げる働きをすることが示唆された。そこで、予備的な試行として、この演算子をグラフ上に一般化されたKM模型の作用とみなして分配関数を計算したところ、グラフゼータ関数と呼ばれる関数を行列重み付けして拡張されたものになっていることを発見した。グラフゼータ関数は、グラフ上の原始サイクルをカウントする関数で、その逆数が有限行列の行列式で表されるという著しい性質を持っている。我々は、行列重み付けしていてもこの性質が失われないことを証明した。そして、この性質を利用することで、large Nにおけるグラフ上に一般化されたKM模型の分配関数を正確に計算することに成功した。さらに、KM模型から派生した別の模型（FKM模型)についても、グラフゼータ関数による記述ができることを見いだした。この模型は、Wilson型格子ゲージ理論と近い特性を持ち、特に連続極限においてヤン・ミルズ理論を再現する可能性が示唆される興味深い模型である。我々は、グラフゼータ関数の特性を利用して、この模型が、考えているグラフの詳細によらずに、large Nにおいて相転移現象を起こすことを見いだした。