Applications of the theory of group schemes, especially on Lucas sequences and on the normal basis problem

本研究「群スキーム理論の応用、特に正規底問題とLucas数列の数論について」は令和元年度から基盤研究(C)で援助をいただいている。一昨年度は副題にある二項目の問題のうち、Lucas数列の数論について目覚ましい成果を得、もっぱらそちらの研究に専念していた。この主題では最初の論稿である「Geometric aspects of Lucas sequences I」「Geometric aspects of Lucas sequences II」がTokyo Journal of Mathematics 43に掲載された。さらに、昨年度はその続編である「Geometric aspects of Lucas sequences、a survey」が京都大学数理解析研究所講究録別冊B86に掲載された。この一連の論文は、１９世紀後半のEdouard Lucasの研究に始まる一世紀半にわたるLucas数列の研究の歴史の中で、群スキームや射影空間を議論の軸に据えた初めての研究である。Lucas数列に関する研究の長い歴史の中で、射影直線 P1 さらには射影空間 Pn という言葉が現れる最初の論文であろう。Lucas数列は見掛けは初等的な内容であり、Fibonacci Quarterly に寄せられる多くの論考に見られるように数学愛好家も取り組める事項である。そこに新たに幾何学の視点を提示したことの意義は大きいと考える。例えば、Laxton は2階の場合に Laxton 群を定義したが、その後、半世紀にわたって進展はなかった。それが幾何学な視点から Laxton 群について再考することによって、一般階数の場合にも Laxton 群は群 scheme の有理点のなす群の剰余群として定式化することができた。

本研究「群スキーム理論の応用、特に正規底問題とLucas数列の数論について」は令和元年度から基盤研究(C)で援助をいただいている。一昨年度は副題にある二項目の問題のうち、Lucas数列の数論について目覚ましい成果を得、もっぱらそちらの研究に専念していた。この主題では最初の論稿である「Geometric aspects of Lucas sequences I」「Geometric aspects of Lucas sequences II」がTokyo Journal of Mathematics 43に掲載された。さらに、昨年度はその続編である「Geometric aspects of Lucas sequences、a survey」が京都大学数理解析研究所講究録別冊B86に掲載された。この一連の論文は、１９世紀後半のEdouard Lucasの研究に始まる一世紀半にわたるLucas数列の研究の歴史の中で、群スキームや射影空間を議論の軸に据えた初めての研究である。Lucas数列に関する研究の長い歴史の中で、射影直線 P1 さらには射影空間 Pn という言葉が現れる最初の論文であろう。Lucas数列は見掛けは初等的な内容であり、Fibonacci Quarterly に寄せられる多くの論考に見られるように数学愛好家も取り組める事項である。そこに新たに幾何学の視点を提示したことの意義は大きいと考える。例えば、Laxton は2階の場合に Laxton 群を定義したが、その後、半世紀にわたって進展はなかった。それが幾何学な視点から Laxton 群について再考することによって、一般階数の場合にも Laxton 群は群 scheme の有理点のなす群の剰余群として定式化することができた。