リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究

まず，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変正則写像の構成と分類の問題についてすでに得られていた結果を論文にまとめた．（長友康行氏（明治大学）との共同研究）そしてこの論文はOsaka Journal of Mathematicsから出版された．次に上記結果の拡張として，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変調和写像の構成と分類の問題に関して前年度までに得られていた結果を論文にまとめた．この論文は現在投稿中である．次に同変調和写像の分類問題への取り組みとして，(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への調和写像の構成と分類問題について研究を行った．これらの問題に注目している研究者はこれまでにもいたが従来の手法では考察が難しかったため研究が進んでいなかったが，ゲージ理論を応用することでより洗練された結果を得ることを研究代表者は研究協力者の長友氏との共同研究で見出した．現在までの進捗は以下のとおりである．(1) 四元数射影空間への調和写像は始集合上の階数2，次数0のベクトル束から誘導される．そのようなベクトル束の位相と接続が問題となるが，始集合が複素射影直線の場合は接続の分類に関してすでに調べており，2次元以上の複素射影空間上のベクトル束は次数が符号を除いて一致する直線束の直和になることがすぐにわかる．これらのことと四元数構造の存在に注意して，同変調和写像の分類結果を得た．(2)3次元球面から複素射影空間への全実写像の構成・分類問題に注目した．この時考えるべきベクトル束は階数1の自明束である．したがって3次元球面上の滑らかな関数全体のなす空間のラプラシアンによる固有分解を考えることで，Liによるこの問題の先行結果をゲージ理論的に書き直すことができた．

まず，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変正則写像の構成と分類の問題についてすでに得られていた結果を論文にまとめた．（長友康行氏（明治大学）との共同研究）そしてこの論文はOsaka Journal of Mathematicsから出版された．次に上記結果の拡張として，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変調和写像の構成と分類の問題に関して前年度までに得られていた結果を論文にまとめた．この論文は現在投稿中である．次に同変調和写像の分類問題への取り組みとして，(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への調和写像の構成と分類問題について研究を行った．これらの問題に注目している研究者はこれまでにもいたが従来の手法では考察が難しかったため研究が進んでいなかったが，ゲージ理論を応用することでより洗練された結果を得ることを研究代表者は研究協力者の長友氏との共同研究で見出した．現在までの進捗は以下のとおりである．(1) 四元数射影空間への調和写像は始集合上の階数2，次数0のベクトル束から誘導される．そのようなベクトル束の位相と接続が問題となるが，始集合が複素射影直線の場合は接続の分類に関してすでに調べており，2次元以上の複素射影空間上のベクトル束は次数が符号を除いて一致する直線束の直和になることがすぐにわかる．これらのことと四元数構造の存在に注意して，同変調和写像の分類結果を得た．(2)3次元球面から複素射影空間への全実写像の構成・分類問題に注目した．この時考えるべきベクトル束は階数1の自明束である．したがって3次元球面上の滑らかな関数全体のなす空間のラプラシアンによる固有分解を考えることで，Liによるこの問題の先行結果をゲージ理論的に書き直すことができた．