tropical geometry, rigid analytic geometry and their applications to arithmetic geometry

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本年度は、主に昨年度構成した滑らかな複素射影代数多様体のトロピカルコホモロジーから特異コホモロジーへの写像についての研究を行った。まず、昨年度の構成にいくつか問題点があったため、修正を試みた。概ね修正できたが、少し技術的な問題が残った。しかし、昨年度の（実半代数幾何的な）構成とは異なる２種類の構成（代数的なものと微分幾何的なもの）を与えたため上記の問題はあまり重要ではなくなったように思われる。また、上記の問題を除けば、３つの構成がすべて同じ写像を与えることを証明した。特に微分幾何的な構成は、昨年度の実半代数幾何的な構成とコホモロジーではなくチェインのレベルである意味で一致していることを証明した。この研究課題は今年度で終了であるが、終了後も主にこの微分幾何的な構成を用いて、Hodge予想の解決という大きな目標に向かって、研究をさらに進めていく予定である。また初年度にMilnorK群のトロピカル類似として構成した有理数係数トロピカルK群が、「体拡大のKahler微分のlog微分で生成される部分ベクトル空間」と同型であることを標数０の場合に証明した。これは標数pの体のMilnorＫ群に対し、Ｆｐ係数でBloch-KatoとGabberが証明したものと同じである。これは、非常に曖昧な類似であったMilnorK群とトロピカルK群のかなり具体的な類似性である。また今年度は研究者との交流を多く行った。新型コロナウイルスの影響により、直接会って交流することはできなかった。代わりにZoom等を用いて、海外の研究集会やセミナーでの講演や、海外の研究者とも個人的な交流などを行った。交流の成果として、上記のBloch-KatoとGabberの定理などいくつかのフィードバックを得ることができた。