位相幾何学的グラフ理論を用いたRyser予想の研究

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本研究では、ハイパーグラフの最大マッチング数と最小頂点被覆数を、閉曲面上のグラフのface independence numberとguarding numberと呼ばれる不変量へそれぞれ翻訳し、位相幾何学的グラフ理論の知見を用いてRyser予想を解決することを目標としている。また、グラフの彩色を用いた観点からも研究を進めていく予定となっている。２０２２年度は主に（１）グラフの彩色に関する諸問題と、（２）特別なグラフクラスにおけるRyser予想に関連した問題について研究を進めた。（１）グラフの彩色に関しては、complete coloringと呼ばれる特別な彩色における予想が、キャタピラと呼ばれるグラフクラスにおいて成り立つことを示した。さらに、キャタピラでは、その予想よりも強い主張が成り立たない反例が見つかっておらず、その強い主張が成り立つのではないかと考え、研究を進めている。（２）Ryser予想はr-partiteという条件を満たすハイパーグラフの最小頂点被覆数が、最大マッチング数のr-1倍以下であるという予想であるが、球面上の偶三角形分割と呼ばれるグラフクラスにおいては、これらの値が等しくなり、Ryser予想よりも強い主張が成り立つのではないかと予想している。そこで、まずは球面上の偶三角形分割の中でも、四角形分割の面細分によって作られるグラフに対してこの予想が成り立つかどうかについて、考察を進めた。