代数多様体の数論力学系の研究

有理写像に対する川口Silverman予想に取り組み，1-cohomologically hyperbolic mapに対しては川口Silverman予想を少しだけ強い仮定の元示せた．より正確には，与えられた点の軌道がgenericであれば，その算術次数と有理写像の力学次数が一致することを証明できた．また，そこでの議論の応用としてZariski稠密性予想を1-cohomologically hyperbolic mapに対して証明できた．この予想は有理写像に対してはほとんど知られていなかったので重要な結果だと考えている．また川口Silverman予想の応用としては今までになかった新しいタイプのもので，非常に興味深く今後の発展が期待できる．また，dimX-cohomologiaclly hyperbolic mapに対してはpreperiodic pointsの有限性に関する結果を証明できた．これも上記の結果を示す際の議論の応用であり，非常に面白い．超曲面上の有理点の分布の平均的振る舞いについても研究を進めた．射影空間内の指定された一点にadelicに近い有理点の平均的個数を研究した．1次モーメント(単純平均)の計算は完了した．その結果，近似の条件を入れると有理点の個数は近似の精度に応じて期待される通りのファクター倍されることが証明できた．指定された点の近くにある有理点の個数を調べることは，言い換えると多様体上の有理点の分布を調べているということであり，一般には非常に難しい．この問題への平均的理解への第一歩が完了したという意味で本年度の研究は重要である．

有理写像に対する川口Silverman予想に取り組み，1-cohomologically hyperbolic mapに対しては川口Silverman予想を少しだけ強い仮定の元示せた．より正確には，与えられた点の軌道がgenericであれば，その算術次数と有理写像の力学次数が一致することを証明できた．また，そこでの議論の応用としてZariski稠密性予想を1-cohomologically hyperbolic mapに対して証明できた．この予想は有理写像に対してはほとんど知られていなかったので重要な結果だと考えている．また川口Silverman予想の応用としては今までになかった新しいタイプのもので，非常に興味深く今後の発展が期待できる．また，dimX-cohomologiaclly hyperbolic mapに対してはpreperiodic pointsの有限性に関する結果を証明できた．これも上記の結果を示す際の議論の応用であり，非常に面白い．超曲面上の有理点の分布の平均的振る舞いについても研究を進めた．射影空間内の指定された一点にadelicに近い有理点の平均的個数を研究した．1次モーメント(単純平均)の計算は完了した．その結果，近似の条件を入れると有理点の個数は近似の精度に応じて期待される通りのファクター倍されることが証明できた．指定された点の近くにある有理点の個数を調べることは，言い換えると多様体上の有理点の分布を調べているということであり，一般には非常に難しい．この問題への平均的理解への第一歩が完了したという意味で本年度の研究は重要である．