移動境界問題に対する実用的数値解法とその数学的誤差評価

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時間変化する自由境界の運動を求める移動境界問題に対するレベルセット法による数値解法の開発とその解析を重点的に行った。具体的には、自由境界問題として平均曲率流問題と2相ステファン問題を取り上げ、前年度に開発した符号付距離関数の有限要素近似を利用したレベルセット法をもとに、次のような改良と数値シミュレーションによる解析を行った。1. 固定メッシュを使い、自由境界の近傍だけで符号付距離関数の数値計算を行えるような数値計算アルゴリズムを開発した。それにより、大幅な計算時間とメモリの節約が実現され、より実用的な数値解法になった。2. いくつかの厳密解と数値計算結果との比較を行い、収束に必要な数値計算を実行する自由境界の近傍の幅とメッシュサイズとの関係を実験的に調査を行い、経験則としてそれらの間の関係式を得た。3. この数値解法の適用性と実用性、信頼性を調べるために、他の方法との比較や、自由境界が特異性を持つ場合などについても数値的に調べ、十分な適用性・実用性・信頼性があることを確かめた。4. 2相ステファン問題に今回の数値計算法を用い、過冷却液体中の結晶の成長のシミュレーションを行った。それにより、チップスプリッティングなどの界面の不安定成長現象が数値シミュレーションによって再現された。今回開発した数値解法は、今後、移動境界問題のある程度汎用的な数値計算法に成り得ることが期待され、今回の研究によりその足掛かりが出来たことも重要な成果である。