双向グラフにおける一般化安定集合問題に対する効率の良い解法に関する研

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双向グラフ上での一般化安定集合問題を研究してきたわけであるが、その方向には二つのアプローチが考えられる。一つは、通常の無向グラフに対する研究成果を組合せ的な議論を用いて一般化するものと、もう一つは一般化安定集合多面体なるものを考え、その構造を解析することで効率的な解法を構築しようというものである。一つ目の方向では、クローフリー双向グラフ、および三角化双向グラフに対する一般化安定集合問題に対する解法が発表されているので、私は二つ目の方向で研究することとした。このとき、参考となるものはやはり安定集合多面体に対する先行研究であるが、そこでは補グラフにおけるクリークという概念が非常に重要である。双向グラフでもクリークを一般化した概念である双向クリークは存在するが、補グラフは単純に拡張することができない。これを導入するためには、代数を使うことが必要と思われるので、今年度は代数的な研究を中心に行った。具体的には、とくにシェラビリティを中心に扱うことにした。このシェラビリティは単体的複体に対するものであるが、とくに半順序集合から作られる順序複体、およびマトロイドと呼ばれる組合せ的な構造体から派生するものを研究した。具体的には、順序複体のシェラビリティに関する十分条件、および必要条件をそれぞれ考え、またマトロイド複体に関しては、シェリング多項式を中心に、完全グラフから作られるグラフ的マトロイドのマドロイド複体のシェリング多項式を少し規模の小さい例で購入した計算機を用いて計算し、ある程度特定することができた。また、これらの成果は数理計画のシンポジウムで招待講演として発表したほか、最適化の研究部会等で発表している。