熱方程式の解を保つ変換の研究

本研究の目的は、熱方程式の解を保つ変換について研究すること、特に具体的な形を求めること意識して調べることであった。これまでに得られた新たな知見として次のものがある。1.次元が異なるユークリッド空間上の熱方程式を保つ変換については、まず最初に、Appell変換の直接の拡張として、写像が時間座標毎には多項式写像にであり、かつ時間座標の変換が実解析的である場合にではあるが、熱方程式の解を保つ変換の形を具体的に、完全に決定した。さらに、それらの変換はすべてAppell変換の直和で得られることが示された。これは一般の場合の研究の指針になると期待される2.リーマン多様体上の熱方程式を保つ変換については、ユークリッド空間上の熱方程式を保つ変換の特徴付けを拡張する形で、特徴付けを得た。具体的な場合として、ユークリッド空間に回転不変なリーマン計量を入れた多様体上の熱方程式を保つ変換を調べ、空間方向の写像が原点を保つ場合、あるいは原点と無限遠点を入れ替える場合には、ほぼ形を決定することが出来た。その中に、ユークリッド空間では存在しない興味深い例を得た。また、通常の計量の場合のAppell変換の荷重関数の形が何に規定されているのかが明らかになった。3.半リーマン計量を持つ多様体上の熱方程式の解を保つ変換についても、リーマン多様体上の場合を拡張する形で、一般的な特徴付けを得た。現在、2、3の結果を論文として発表するべく準備中である。

本研究の目的は、熱方程式の解を保つ変換について研究すること、特に具体的な形を求めること意識して調べることであった。これまでに得られた新たな知見として次のものがある。1.次元が異なるユークリッド空間上の熱方程式を保つ変換については、まず最初に、Appell変換の直接の拡張として、写像が時間座標毎には多項式写像にであり、かつ時間座標の変換が実解析的である場合にではあるが、熱方程式の解を保つ変換の形を具体的に、完全に決定した。さらに、それらの変換はすべてAppell変換の直和で得られることが示された。これは一般の場合の研究の指針になると期待される2.リーマン多様体上の熱方程式を保つ変換については、ユークリッド空間上の熱方程式を保つ変換の特徴付けを拡張する形で、特徴付けを得た。具体的な場合として、ユークリッド空間に回転不変なリーマン計量を入れた多様体上の熱方程式を保つ変換を調べ、空間方向の写像が原点を保つ場合、あるいは原点と無限遠点を入れ替える場合には、ほぼ形を決定することが出来た。その中に、ユークリッド空間では存在しない興味深い例を得た。また、通常の計量の場合のAppell変換の荷重関数の形が何に規定されているのかが明らかになった。3.半リーマン計量を持つ多様体上の熱方程式の解を保つ変換についても、リーマン多様体上の場合を拡張する形で、一般的な特徴付けを得た。現在、2、3の結果を論文として発表するべく準備中である。