3次元渦運動に現れる特異点の研究

三维涡运动中奇点的研究

基本信息

批准号：
11740059
负责人：
坂上貴之
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度に引き続き、3次元渦層に発生する特異点の数値的研究を行った。渦層の運動を記述する方程式はIll-posedな問題を与えているので、この方程式の数値計算は非常に困難である。そこで、「渦法」と呼ばれる方程式の正則化技法を用いて方程式を正則化してから数値計算を行った。その数値計算の結果から2次元渦層の場合には観測されない新しい特異点の生成を予測するに至った。そのような予測を得たということが昨年度の研究の成果の一つであった。しかしながら、実際には方程式を正則化しているので、数値解に特異点が現れるわけではない。そこで、本当に正則化していない方程式の解に特異点が生成するかどうかを、正則化の程度を徐々に下げていって元の方程式に近づくときの数値解の振る舞いによって調べた。その結果、この予測が確からしいことを示すことに成功した。この成果は現在投稿中である。一方で、この特異点に関する予測の理論的な研究を行った。しかしながら、従来の数学手法でこのような問題を扱うのは難しいので、まずは問題を2次元の渦層に限定し数学的な道具立てを整備することにした。基本的なアイデアは時間を複素数に拡張することである。つまり、複素時間平面における正則化方程式の解に特異点が発生する時間(複素特異時刻)の分布を数値的に調べて、それが元の方程式の(実時間における)特異点の生成時刻をどのように近似しているかを確かめた。その数値結果を基にして、渦層の時間発展の関する一つのモデルを構築した。そのモデルとの比較を通じて元の方程式の解の性質を明らかにすることに成功した。この成果も現在投稿中である。この方法を今回の3次元渦層に応用することが今後の目標である。

去年之后，我们对3D涡流层中发生的奇异性进行了数值研究。该方程式的数值计算非常困难，因为该方程描述了涡流层的运动给出了一个错误的问题。因此，使用称为涡旋方法的正则化技术将方程式正规化后，进行数值计算。数值计算的结果导致预测了在二维涡流层中未观察到的新奇异点的产生。去年研究的结果之一是获得了此类预测。但是，由于该方程实际上是正则化的，因此在数值解中没有奇异性出现。因此，我们研究了是否通过逐渐降低正规化程度并接近原始方程式来实现并非真正正规化的方程式中产生奇异性。结果，我们成功地证明了这一预测是可以肯定的。目前正在发布此成就。另一方面，我们对有关这种奇异性的预测进行了理论研究。但是，很难用常规数学方法处理此类问题，因此我们决定首先将问题限制在二维涡流层上并开发数学工具。基本思想是将时间延长到复杂数字。换句话说，我们在数值上检查了在复杂时间平面中正则化方程中发生奇异性的时间（复杂的奇异时间）的分布，并确认了这是如何实现原始方程的奇异性（实时）产生时间的。基于数值结果，我们为涡流层的时间演化构建了一个模型。通过与模型进行比较，我们成功地阐明了原始方程的解决方案的性质。此结果当前正在发布。未来的目标是将此方法应用于当前的三维涡流层。