結晶成長の数理と微分方程式

晶体生长的数学和微分方程

基本信息

批准号：
12874024
负责人：
儀我美一
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

結晶成長現象を記述する偏微分方程式を中心に、その可解性を中心にいくつかの新しい成果を挙げた。まず、雪結晶のような気相成長の場合、準定常型のステファン型の自由境界問題により、結晶面の成長を記述することも多い。ここでは結晶の形を円柱とし、その外側で過飽和度についてのラプラス方程式を仮定し、また空間無限遠でも過飽和度は既知とする。結晶面では、その外向きの成長速度が過飽和度の勾配に比例するという、ステファン条件を仮定する。また、結晶面での過飽和度は、動的効果も考慮したギブス・トムソン効果も考慮する。このような状況では過飽和度は、円柱のふちにくらべ、中心部の方が大きいという現象がベルグ効果として知られていたが、その厳密な数学的証明は、結晶形が正多角形の場合に関数論を用いたものだけしがなかった。ここでは円柱の場合、成長速度が定数の場合にベルグ効果を数学的に厳密に示した。この問題の難点は、領域にカドがあり、過飽和度が、境界付近で滑らかかどうかわからないことであった。ここでは、問題の軸対称性から、長方形の問題に帰着し、過飽和度の連続微分可能性を示した。その上で、その導関数に対して最大値原理を巧みに用いて、ベルグ効果を示した。この問題は、カドのある領域の外部でのラプラス方程式の解の性質という古典的な問題であり、既にさまざまな研究があったが、上の状況に適用できるものはなかった。したがって応用面のみならず、数学解析としても重要である。本研究では、さらに詰晶成長の仕組みのひとつである、うず巻成長について、そのモデル方程式の異方性が考慮されていても、等方的な場合に近い限り、うず巻型の解が存在し、安定であることをも示した。

我们已经取得了一些新的结果，重点是描述晶体生长现象的部分微分方程，并专注于其溶解度。首先，在蒸气相生长（例如雪晶体）的情况下，由于准平台Stefan类型的自由边界问题，通常描述了晶体平面的生长。在这里，晶体形状是一个圆柱体，在其外部假定过度饱和程度的拉普拉斯方程，即使在空间无穷大，也已经知道过饱和度的程度。假设晶体平面外部生长速率与过饱和梯度成正比的Stefan条件。此外，还考虑了晶体平面上的过饱和程度，考虑到吉布斯 - 汤姆森效应，这也考虑了动态效应。在这种情况下，与圆柱体的边缘相比，中心的超饱和现象被称为Berg效应，但是当晶体形式是常规的多边形时，确切的数学证明不限于使用功能理论。在这里，当圆柱体的生长速率恒定时，以数学精确的方式显示了Berg效应。这个问题的缺点是该地区有一个球童，尚不清楚在边界附近过饱和程度是否光滑。在这里，该问题的轴对称问题来自矩形问题，显示了过饱和程度的连续分化。此外，通过巧妙地使用其导数的最大值原理来证明Berg效应。这个问题是一个经典的问题，即用干部以外地区外部拉普拉斯方程的性质性质，尽管有各种研究，但没有任何研究适用于上述情况。因此，这不仅对于应用，而且对于数学分析都很重要。在这项研究中，我们还表明，对于四倍的增长，即使考虑到模型方程的各向异性，也存在四型型溶液，并且只要它接近同性恋病例，也存在稳定的溶液。