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結晶成長の数理と微分方程式

晶体生长的数学和微分方程

基本信息

批准号：
12874024
负责人：
儀我美一
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

結晶成長現象を記述する偏微分方程式を中心に、その可解性を中心にいくつかの新しい成果を挙げた。まず、雪結晶のような気相成長の場合、準定常型のステファン型の自由境界問題により、結晶面の成長を記述することも多い。ここでは結晶の形を円柱とし、その外側で過飽和度についてのラプラス方程式を仮定し、また空間無限遠でも過飽和度は既知とする。結晶面では、その外向きの成長速度が過飽和度の勾配に比例するという、ステファン条件を仮定する。また、結晶面での過飽和度は、動的効果も考慮したギブス・トムソン効果も考慮する。このような状況では過飽和度は、円柱のふちにくらべ、中心部の方が大きいという現象がベルグ効果として知られていたが、その厳密な数学的証明は、結晶形が正多角形の場合に関数論を用いたものだけしがなかった。ここでは円柱の場合、成長速度が定数の場合にベルグ効果を数学的に厳密に示した。この問題の難点は、領域にカドがあり、過飽和度が、境界付近で滑らかかどうかわからないことであった。ここでは、問題の軸対称性から、長方形の問題に帰着し、過飽和度の連続微分可能性を示した。その上で、その導関数に対して最大値原理を巧みに用いて、ベルグ効果を示した。この問題は、カドのある領域の外部でのラプラス方程式の解の性質という古典的な問題であり、既にさまざまな研究があったが、上の状況に適用できるものはなかった。したがって応用面のみならず、数学解析としても重要である。本研究では、さらに詰晶成長の仕組みのひとつである、うず巻成長について、そのモデル方程式の異方性が考慮されていても、等方的な場合に近い限り、うず巻型の解が存在し、安定であることをも示した。

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