「積み木遊び」の統計力学

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誰でも幼い頃に遊んだ経験がある「積み木遊び」に、誰もが思いつかなかった深い数理的構造が潜んでおり、予想外に広い現象に共通する普遍性を有することが最近になって明らかになりつつある。非平衡現象で広範に観測されるスケーリング則を一般的に説明する可能性を秘めた「自己組織化臨界現象」の概念を発現する「積み木遊び」モデルは本質的に1次元であるので、計算機シミュレーションや理論的考察にとって非常に有利である。この利点を活かして、計算機シミュレーションを駆使した統計的性質の究明と、厳密もしくは近似理論による物理的構造の解明を目的とする。積み木の山の崩落条件は下段の全ての積み木の「ずれ方」に依存し、いわゆる吸収壁をもつランダム・ウォーク問題ではこれまで取り上げられてこなかった条件である。本年度はまず計算機を用いて積み木の山が崩れる確率を積み木の高さが27段まで正確に計算した。その場合積み木の山全体が崩れる場合と一部が崩れる場合に分けて考察した。その計算された結果が「組み合わせ論」の手法を用いて理解されることを明らかにした。数学・物理・計算機科学の領域にまたがる新しい問題を提起することになった。さらに、利き手によって積み木を積み上げる際の「ずれ」には左右の差が生ずる可能性を考慮した。左右にずれる確率を1/2から変えていくことによって積み上げられる積み木の山の平均の高さがずれの大きさ1/Lにどのように依存するかが問題になる。対称性の議論から平均の高さはLが大きくなるにつれて、Lの2乗に比例する領域からLに比例する領域に変遷していく、いわゆるクロスオーバー現象が観測されることが期待される。この事実を計算機シミュレーション実行して確かめ、クロスオーバー指数の値を求めた。この結果、吸収壁をもつランダム・ウォークの問題と同じ普遍性クラスに属することが明らかになった。この成果は近く公表される予定である。