超越数論におけるマーラーの方法とその応用

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1.算術的整関数の分類.超越関数f(z)がある整数β【greater than or equal】2に対し,f^<(σ)>(β^κ)∈Z(σ=0,1,...,s-l,k=0,1,2,...)をみたすならばlim^^-__<r→∞> log max__<|z|=r>|f(z)|/(logγ)^2【greater than or equal】s/(4logβ)となること,更にこれをs=∞にした場合の結果が得られた。(塩川)2.マーラー関数と超越数.n変数形式的巾級数からなるベクトルf=^t(f_1,...,f_m)がある乗法的変換Ω:C^n→C^nに対して線形関数方程式f(Ωz)=Af(z)+B(z)をみたすときf_1,...,f_mをMahlar関数という。ここでAはQ^^-の元を成分に持つm×m行列でB(z)はQ^^-(z)の元を成分に持つm次元ベクトルである。このときMahlar関数f_1,...,f_mがQ^^-(z)を法としてQ^^-上線形独立であればf_1,...,f_mの代数的点における値が代数的独立であることが示された。またこの結果の応用として,二階線形回帰整数列の逆数の和の代数的独立性が完全に決定された。(西岡)3.符合列のcomplexity.3次元ビリヤードで相向き合う壁に同じ符合をつけて,球がぶつかる壁の符合を順番に並べて得られる符合列のcomplexityがn^2+n+1で与えられることが示された。また正値整係数多項式f(x)と素数列によって生成されるnormal number 0.f(2)f(3)f(5)f(7)…の最良のdiscrepancy評価が得られた。(塩川)4.数論的量子カオス.ラプラシアンの離散スペクトルに対する固有関数のL^∞ノルムの漸近的評価が数論におけるリンデレ-フ予想に直結していることが知られていて重要であるが,これに関して新しい評価が得られた。(小山)