P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

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1有理数体上の正定値四元数環をB,その判別式をqとする.qと素な自然数Nに対して,level(q,N)のsplit order(極大と限らない整数環)が定義される。その同型類の個数(Type number)T(q,N)及び左(右)イデアル類数H(q,N),は有限でq,Nのみで決まる重要なBの不変量である.類数H(q,N)はlevel qN,重さ2の保型形式の空間の次元と一致し,その空間のBrandt行列及びtheta級数による正確な記述が知られている。これより,保型形式やモジュラー曲線,楕円曲線に関する各種の性質および,これらと関連する諸問題が四元数環のEichler orderの数論に翻訳され,前者の研究の重要な手段を与える。(1)申請者は今回の研究によって,一般のsplit orderに対してType number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-Lehnerによるinvolution W_p(P|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた。Eichler型orderの場合には,この結果は,Heck環の表現の分解を調べることにより,理論的な解釈を与えることが出来た。(2)さらに,これらの結果を応用して,theta級数による保型形式の構成を利用して,モジュラー曲線の自己同型群による商として得られる曲線が超楕円的になるものを分類する問題について,Nが平方因子を持たない場合の完全な解決を得た。