非コンパクトリイ群の作用する多様体の研究

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本年度は単連結4次元多様体上の固定点を持たないSp(2,R)-作用と(2p+2q-1)次元球面上のSU(p,q)-作用を調べた。Sp(2,R)の極大コンパクト部分群U(2)の作用を調べること、及びSp(2,R)-作用の特徴から、Sp(2,R)が作用する単連結4次元多様体は既に知られている球面以外に1種類しかないことが分かった。球面上の可微分なSp(2,R)-作用の分類は昨年度に終わったつもりであったが、一部証明に間違いがあり、本年度に完成した。また、SU(p,q)-作用の場合は、その極大コンパクト部分群S(U(p)×U(q)の(2p+2q)次元ベクトル空間上の線形作用を詳しく調べる事によりその代表的な表現空間を見つけ、かつそのSU(p,q)-作用のイソトロピー部分群の構造も調べることが出来た。この結果を用いることにより、Sp(2,R)-作用の場合と同様な方法で(2p+2q-1)次元球面上のSU(p,q)-作用も分類出来ると思われる。定理 Sp(2,R)が固定点を持たないように作用出来る単連結4次元多様体は球面とS^2×S^2のみである。補助定理 SU(p,q)の複素(p+q)次元空間C^<p+q>上のstandard表現において、点(a,b,0,…,0)でのイソトロピー部分環をБ(a:b)と置くと、Б(a:b)はLie環ЗЦ(p,q)の(p+q)(p+q-2)次元の部分Lie環である。定理 SU(p,q)のLie環ЗЦ(p,q)の部分環gが2つ条件(1)dim g>(p+q)(p+q-2),(2)g⊃З(Ц(p-1)×Ц(q-1))を満たしているとする。もしp,q>2であれば、g⊃Б(a:)を満たす(a:b)∈P_2(C)がただ一組存在する。