フィードバック境界条件を伴う楕円型作用素の構造と無限次元作用素方程式の数値解析学

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R^mの有界領域Ωにおける2階一様楕円型作用素をLとし、τ_1,τ_2をそれぞれΩの滑らかな境界Γにおけるディレクトリ型、一般化ノイマン型境界作用素とする。作用素M_iをM_iu=Lu, uε{uεH^2(Ω);τ_iu=Σ^^N__<k=1>〈u, w_k〉h_konΓ}, i=1, 2により定義する(〈・,・〉はL^2(Ω)またはL^2(Γ)における内積を表す)。M_iは境界フィードバック条件を備えた作用素で、境界安定化等の制御問題にしばしば現われる。本研究では、c>0が十分大きいとき、M_i+c=M_<ic>の分数ベキM^θ_<ic>,0【less than or equal】θ【less than or equal】1,の定義域D(M^θ_<ic>)を完全に特徴付けることに成功した:・M_<1c>は標準的な極大増大性(m-accretiveness)を備えず、また、境界条件において〈u, w_k〉の大域性とτ_1uの局所性が混在する困難で新しい型の作用素である。(i)旨い相似変換T_1を導入する発想を行い;(ii)M_<1c>を極大増大作用素K_c=T_1M_<1c>T^<-1>_1に変換し;(iii)現われる諸作用素の分数ベキを補完論で代数的に結び付けることにより、M^θ_<1c>の特徴付けを行った。・M_<2c>は、極大増大性を備えているため、M_<1c>よりは幾分扱い易い作用素である。ただ、境界条件における大域性と局所性の混在のため、(i)M_<1c>の場合とは異なる新しい微分方程式論的手法を提案し;(ii)M_<1c>の場合と同様な作用素T_2との組み合わせにより、M^θ_<2c>の特徴付けを行った。上記いずれの結果もSobolev空間の枠内での特徴付けであり、フィードバック項がない古典的な作用素の場合には、対応する結果はよく知られている。本結果はそれらの完全な拡張になっている。関連する諸結果も研究分担者の精力的な協力により幾つか得られている。