有限集合の確率分割

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当初Ewens(1972)により遺伝子の配列に関する分布として導かれたEwens分布,及びこれに密接な関係があるDonnelly-Tavare-Griffiths分布、更にこれらの基礎となる分布について分布の特徴付けを与え、また前2者の分布について確率標本の見地からその母集団分布の特徴付けを与えた。Ewens分布及びDonnelly-Tavare-Griffiths分布を、それぞれ自然数の順序の付かない分割及び順序の付いた分割として捉えると、これらの分布は自然数の集合の順序の付いた分割の上の確率分布に基づいて構成できる。自然数の集合の順序の付いた分割の上の確率分布、及びこれから得られる自然数の集合の順序の付かない分割の上の確率分布により、その基数にのみ着目してEwens分布及びDonnelly-Tavare-Griffiths分布を得ることができる。これらの確率分布について、それぞれの考えられている空間上の分布としてこれらの分布が導かれる関係を与えることによって、特徴付けを行った。Donnelly-Tavare-Griffiths分布に従う自然数の順序の付いた分割の相対度数は漸近的にGEM分布に従うことが、負の超幾何分布を用いた表現から、示される。確率標本の見地からは、標本の観測順に基づく度数、および標本の(観測順を考慮しない)度数の確率分布の観点から母集団分布の特徴付けを行うことが出来た。母集団分布は無限個の確率的比率で表されるものとする。標本の観測順に基づく度数がDonnelly-Tavare-Griffiths分布に従うのは、確率的比率のsize-biased permutationがGEM分布に従う場合に限ることが示される。このことから、標本の(観測順を考慮しない)度数がEwens分布に従うのは母集団の無限個の確率的比率のsize-biased permutationがGEM分布に従う場合に限ることも示される。