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Qualitative and quantitative analysis of non-periodic space-time homogenization problems for nonlinear diffusion equations

非线性扩散方程非周期时空均匀化问题的定性和定量分析

基本信息

批准号：
22K20331
负责人：
岡大将
金额：
$ 1.83万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-08-31 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は, 非線形拡散方程式に対する時空均質化問題の研究に取り組んだ. まず, 係数行列場が周期性を伴う周期的時空均質化問題に於いて, 時空２スケール収束理論に基づいて周期パラメータに関する極限方程式を意味する均質化方程式及び, 均質化行列の特徴づけを行った際に得られた成果が査読付き学術論文として掲載された. 但し, 掲載された学術論文では, 解の勾配に対する修正項付きの強収束性を証明することでSobolev空間上に於ける強コンパクト性の破れが生じることも明らかにしていたが, その際, 周期的な係数行列場に対して滑らかさを仮定しており, 追加の仮定が本質的となっていた. 次に, 追加の仮定を取り払うために, 時空unfolding法を導入し, その随伴作用素に対応する平均化作用素を用いた別の修正項付きの解の勾配に対する強収束性を証明することで均質化定理と同程度の仮定の下でSobolev空間上に於ける強コンパクト性の破れが生じることを明らかにし, この結果が査読付き学術論文として掲載された. また, 学術論文のみならず, 日本数学会を始めとした口頭発表による成果報告も行なった.周期的時空均質化問題に於いて得られた成果を非周期的な場合へと拡張することが本研究の目標の一つであり, 非周期化の一つとしてH-収束の証明が挙げられる. H-収束は係数行列場に対して一様楕円性のみを課した線形楕円型方程式に対する均質化問題に於ける収束概念であり, 今年度は, H-収束性の非線形問題への拡張にも取り組んだ. その際に得られた成果の一部を日本応用数理学会やRIMS共同研究等で口頭発表による成果報告も行なった.

In this paper, the nonlinear dispersion equations are selected for the study of the homogenization of time and space. In this paper, the author discusses the homogenization equation and the characteristic of homogeneous matrix in the theory of beam theory. However, it is revealed that the strong convergence property of the correction term is proved in the Sobolev space, and the periodic coefficient matrix field is determined in the sliding field, adding the essential convergence property. Secondly, when additional determinations are made, the spatiotemporal unfolding method is introduced, and the strong constraint property of the solution is proved by using the averaged action elements for the accompanying action elements and the matching of the other correction terms. This makes it clear that the strong constraint property of Sobolev space can be broken under the homogenization theorem and the same degree of determination, and the results are published in academic papers. The academic papers were published by the Japanese Mathematical Society and the results were presented orally. The aim of this study is to prove the periodic homogenization of space-time in the case of non-periodicity. H-beam coefficient matrix field to a uniform linear equation to a homogeneous problem in the concept of beam, this year, H-beam coefficient matrix field to a uniform linear equation to a nonlinear problem. A report on the results of the joint research of RIMS and the Japanese Institute of Applied Mathematics was presented.