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Study of non-compact transformation groups acting smoothly on some smooth manifolds

光滑流形上平滑作用的非紧变换群研究

基本信息

批准号：
15540102
负责人：
MUKOUYAMA Kazuo
金额：
$ 1.28万
依托单位：
TOKYO METROPOLITAN COLLEGE OF AERONAUTICAL ENGINEERING
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15540102/
关键词：
non-compact Lie group smooth action maximal compact subgroup

项目摘要

First we consider smooth SU(p,q) actions on the complex projective (p+q-1)-space CP(p+q-1) whose restricted action to the maximal compact subgroup S(U(p)×U(q)) is standard. The first aim of this study is to construct such actions and to classify the actions up to the equivariant diffeomorphism classes.Let (g,h_i) (i=1,2) be the pair of smooth functions g:RP(1)→R and h_i:U_i→R (U_1∪U_2= RP(1)) satisfying some differential equations and other three conditions. Then we can construct a smooth SU(p,q) action on CP(p+q-1) satisfying the previous condition. We already constructed such two pairs that the induced SU(p,q) actions are different. This time we found new three pairs. It is necessary to show that the actions induced from the pairs are same or not.Next we consider smooth SL(m,C)×SL(n,C) actions on the complex projective (m+n-1)-space whose restricted action to the maximal compact subgroup SU(m)×SU(n) is standard. We also have studied such actions on the (m+n-1)-sphere.Theorem 1 There exist infinitely many smooth SL(m,C)×SL(n,C) actions on CP(m+n-1) with three orbits, where two orbits are compact and one orbit is open.Let Ψ be a smooth SL(m,C)×SL(n,C) action whose restricted action to SU(m)×SU(n) is standard. Then we can construct a R^2 actionΨ(c,d) on CP(1) for some real numbers c, d.Theorem 2 Let Ψ, Ψ' be SL(m,C)×SL(n,C) actions whose restriction to SU(m)×SU(n) are standard. If Ψ(c,d)=Ψ'(c',d') and d-c=d'-c', thenΨ=Ψ'.Theorem 3 Let α, β :R^2×CP(1)→CP(1) be the functions satisfying some three conditions, then we can construct an abstract SL(m,C)×SL(n,C) action on CP(m+n-1) whose restriction to SU(m)×SU(n) is standard.In general, the action is not smooth.In the near future, we will construct smooth SL(m,C)×SL(n,C) actions on CP(m+n-1) with k orbits (k>3) using this theorem.

首先，我们考虑复射影 (p+q-1)-空间 CP(p+q-1) 上的平滑 SU(p,q) 动作，其对最大紧子群 S(U(p)×U(q)) 的限制动作是标准的。本研究的第一个目的是构造此类动作并将动作分类为等变微分同胚类。令 (g,h_i) (i=1,2) 为一对光滑函数 g:RP(1)→R 和 h_i:U_i→R (U_1∪U_2= RP(1)) 满足一些微分方程和其他三个条件。然后我们可以在满足先前条件的 CP(p+q-1) 上构建平滑 SU(p,q) 动作。我们已经构建了这样两对，导致 SU(p,q) 动作不同。这次我们发现了新的三对。有必要证明由对引起的作用相同或不同。接下来我们考虑复射影(m+n-1)-空间上的平滑SL(m,C)×SL(n,C)作用，其限制作用到最大紧子群SU(m)×SU(n)是标准的。我们也研究了 (m+n-1)-球面上的此类作用。定理 1 具有三个轨道的 CP(m+n-1) 上存在无穷多个光滑的 SL(m,C)×SL(n,C) 作用，其中两个轨道是紧的，一个轨道是开的。设 Ψ 是一个光滑的 SL(m,C)×SL(n,C) 作用，其限制作用为 SU(m)×SU(n) 为标准。然后我们可以对一些实数 c, d 在 CP(1) 上构造一个 R^2 动作 Ψ(c,d)。定理 2 令 Ψ, Ψ' 为 SL(m,C)×SL(n,C) 动作，其限制为 SU(m)×SU(n) 是标准的。若 Ψ(c,d)=Ψ'(c',d') 且 d-c=d'-c'，则 Ψ=Ψ'。定理 3 令 α, β :R^2×CP(1)→CP(1) 为满足三个条件的函数，那么我们可以在 CP(m+n-1) 上构造一个抽象 SL(m,C)×SL(n,C) 动作，其限制为 SU(m)×SU(n) 是标准的。一般情况下，动作是不平滑的。在不久的将来，我们将利用该定理在 k 个轨道（k>3）的 CP(m+n-1) 上构造平滑的 SL(m,C)×SL(n,C) 动作。