旗多様体上の局所係数コホモロジーとヘッケ環のモノドロミ-表現

Givental′により特異点論的立場からHecke環のmonodromy表現(A_l-型の場合Burau表現)が得られている。我々の目標は、SlodowyによるWeyl群のmonodromy表現を手本とし、特異点の変形理論とLie群論的視点より、Hecke環の全ての既約表現をmonodromy表現として構成することである。Hを有限次元単純Lie環gのCartan部分環、WをWeyl群とする。Weyl群不変式に関するChevalleyの定理によりH/WはC^lに同型であり、また最大次数の不変式J_lを忘れることにより射影πw : C^l→C^<l-1>が得られる。さらに、fをsubreguler巾零元、X_fをgにおけるf-orbitのtransversal sliceとしπ : X_f→C^<l-1>とおくことにする。さて、H_rをHの正則元全体とする時、写像P : H_r/W→H_r/W×C^<l-1>,P([h])=([h],πw([h])を考え、この写像を用いてfiber bundle id×π : H_r/W×X_f→H_r/W×C^<l-1>のH_r/W上への引き戻しとしてZ_fを定める。次に、Z_f=Z_f＼{J_l(h)-J_l(x)=0}(hεH_r,xεX_f)上、不定元qを用いてH_r/Wではtrivialなlocal system L_qを考える。この時、braid群π_1(H_r/W,[h])は[h]εH_r/WのfibreZ_f([h])の2-次のコホモロジー群H^2(Z_f([h]),L_q)に作用し、A_l-型のときHecke環のBurau表現に一致することが分かる。それ以外の既約表現については、またよく分かっていない。ただ、旗多様体のsubvariety B_fに対し、写像H→H^<2d>(B_f)を考えたとき(これは、ある意味で周期写像を考えていることになる)、この写像が全射となる巾零元fに対しては、Hecke環のモノドロミ-表現が構成できつつある。ともかく、Hecke環の全ての既約表現をmonodromy表現として構成することはまだ今後の課題である。

Givental′により特異点論的立場からHecke環のmonodromy表現(A_l-型の場合Burau表現)が得られている。我々の目標は、SlodowyによるWeyl群のmonodromy表現を手本とし、特異点の変形理論とLie群論的視点より、Hecke環の全ての既約表現をmonodromy表現として構成することである。Hを有限次元単純Lie環gのCartan部分環、WをWeyl群とする。Weyl群不変式に関するChevalleyの定理によりH/WはC^lに同型であり、また最大次数の不変式J_lを忘れることにより射影πw : C^l→C^<l-1>が得られる。さらに、fをsubreguler巾零元、X_fをgにおけるf-orbitのtransversal sliceとしπ : X_f→C^<l-1>とおくことにする。さて、H_rをHの正則元全体とする時、写像P : H_r/W→H_r/W×C^<l-1>,P([h])=([h],πw([h])を考え、この写像を用いてfiber bundle id×π : H_r/W×X_f→H_r/W×C^<l-1>のH_r/W上への引き戻しとしてZ_fを定める。次に、Z_f=Z_f＼{J_l(h)-J_l(x)=0}(hεH_r,xεX_f)上、不定元qを用いてH_r/Wではtrivialなlocal system L_qを考える。この時、braid群π_1(H_r/W,[h])は[h]εH_r/WのfibreZ_f([h])の2-次のコホモロジー群H^2(Z_f([h]),L_q)に作用し、A_l-型のときHecke環のBurau表現に一致することが分かる。それ以外の既約表現については、またよく分かっていない。ただ、旗多様体のsubvariety B_fに対し、写像H→H^<2d>(B_f)を考えたとき(これは、ある意味で周期写像を考えていることになる)、この写像が全射となる巾零元fに対しては、Hecke環のモノドロミ-表現が構成できつつある。ともかく、Hecke環の全ての既約表現をmonodromy表現として構成することはまだ今後の課題である。