反応拡散方程式系の大域解の漸近挙動の定量的解析

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未知関数が2つの有界領域における反応拡散方程式系,主として一方の方程式の主要部(空間変数についての2階偏導関数の項)にも他方が関連するような斉次ノイマン境界条件下の方程式系を研究テーマとした.扱った方程式系のもつ特徴は,初期値が正であっても時間が経てば負の部分が生じ得るという点が挙げられる.従って時間局所解の正値性を保証するような初期値の条件を求めること,正値または符号変化を許す時間大域解の構成とその漸近挙動を調べることの2点を当面の主要課題とした.特に漸近挙動については,定数定常解への一様収束性とその速さ,初期値を定数(もとの系の初期値の空間平均)として得られる常微分方程式系の解を利用して,もとの方程式系に対する漸近解を構成し、さらにもとの系の誤差の評価を行うことを目的とした.解の正値性を与える条件の究明は放物型方程式に対するよく知られた最大値原理を利用した.既存の結果と比べて新しい条件を求めることができたものの,完全には解決していないと考えている.時間大域解については(1)正値解,(2)一方の初期値が正で(しかも時間が経過しても解は正)他方のそれは符号不定であるがともに十分小さい,という2つの場合に対して構成を行うことができた.漸近挙動については(1)の場合にのみ定数定常解への一様収束性とその速さを求めた後,対応する常微分方程式系を考え,その解がもとの本来の反応拡散方程式系の漸近解になることを示し,誤差評価を行った.部分的解決ながら上記の研究結果を現在論文に纏めている.今年度は研究内容に関連する文献の収集,他機関の諸研究との情報交換等を科学研究費補助金により頻繁に行ってきたが,次年度はさらに活発にそれらを続けなければ,研究の十分な進展が望めないと思われる.そのための科学研究費補助金の必要性・重要性を痛感している.