正標数における３次元商特異点の研究

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今年度は昨年度に引き続き、正標数上の代数多様体について研究した。特にFrobenius分裂と呼ばれる正標数上の代数多様体に定義される大域的な性質の研究を行った。Frobenius分裂とは正標数の体上定義された代数多様体の絶対的Frobenius写像を考えたときに、それが加群の射として分裂しているようなものを指す。これは代数多様体の大域的な性質で、一般にFrobenius分裂ならば代数多様体は正標数特有の病理的な現象を回避できることが多くの場合に分かっている。昨年度の研究において、楕円曲面や曲線上のアーベルファイバー空間の全空間におけるFrobenius分裂性を考えた時に、重複ファイバーの重複度に大きな制限がつくことが分かったが、今年度の研究でさらに相対的Frobenius写像の零点の個数にも大きな制限がつくことが分かった。これは与えられた代数多様体の族にどれだけ超特異なものが存在するかを図る量であり、特にファイブレーションの底空間の部分多様体として考えることができる。この部分多様体の情報を、全空間がFrobenius分裂であるときに詳しく調べる事ができた。より具体的には、相対的Frobenius写像の零点の個数が重複度も込めて、楕円曲面やアーベルファイバー空間の標準束公式に出現するある直線束と定義体の標数の情報のみに依存するという結果である。今年度の後半において、幾つかの基本的な楕円曲面に対して固定した閉ファイバーにおける相対的Frobenius写像の零点の重複度を計算することができた。その中で正標数の代数多様体における特異点の理論などが有効である事を発見した。この正標数の特異点の理論は特異点付きの代数多様体や被約でない多様体にも容易に一般化ができ、また正標数におけるHodge理論などは用いないので新たな視点を持ち込むことができると期待して、さらに研究を進めている。