曲面結び目のプラット表示に関する分類問題とその応用

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4次元空間内に埋め込まれた閉曲面を曲面結び目といい、2次元球面と同相な曲面結び目を2次元結び目という。ブレイド状曲面は4次元球体内で分岐被覆の構造を持つ境界付き曲面である。ブレイド状曲面を用いて曲面結び目を表示する手法としてプラット表示がある。曲面絡み目のプラット表示の複雑度をパラメータ化することで、正整数値の曲面結び目の不変量であるプラット指数が定義される。本研究の目標は、プラット表示を用いて曲面結び目を理解するために必要な基礎理論の整備、及びプラット指数に関する曲面結び目の分類である。本年度行った研究は次の2つである。(1) 対称カンドルは曲面結び目と相性の良い代数系である。また結び目対称カンドルは曲面結び目に対して定まる対称カンドルであり、曲面結び目の不変量を構成する上で重要な概念の1つである。本研究において、この結び目対称カンドルの表示をプラット表示から導出する手法を開発した。また結び目対称カンドルの表示を用いることによって対称カンドル彩色数と呼ばれる曲面結び目の整数値不変量が得られる。これにより、対称カンドル彩色数とプラット指数の不等式評価を与えることができた。この結果の応用として、与えられた正整数をプラット指数に持つ曲面結び目を無限個構成することができた。(2) プラット指数の値が1となる曲面絡み目の分類はすでに判明している。本研究ではブレイド状曲面のブレイドシステムを用いることにより、狭義のプラット指数の値が2である2次元結び目はリボン型であることが分かった。本年度の成果については国内外の研究集会や日本数学会で口頭講演を行った。本成果をまとめた論文は投稿準備中である。