曲面結び目のプラット表示に関する分類問題とその応用

弯曲结平面表示的分类问题及其应用

基本信息

批准号：
22KJ2189
负责人：
安田順平
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

4次元空間内に埋め込まれた閉曲面を曲面結び目といい、2次元球面と同相な曲面結び目を2次元結び目という。ブレイド状曲面は4次元球体内で分岐被覆の構造を持つ境界付き曲面である。ブレイド状曲面を用いて曲面結び目を表示する手法としてプラット表示がある。曲面絡み目のプラット表示の複雑度をパラメータ化することで、正整数値の曲面結び目の不変量であるプラット指数が定義される。本研究の目標は、プラット表示を用いて曲面結び目を理解するために必要な基礎理論の整備、及びプラット指数に関する曲面結び目の分類である。本年度行った研究は次の2つである。(1) 対称カンドルは曲面結び目と相性の良い代数系である。また結び目対称カンドルは曲面結び目に対して定まる対称カンドルであり、曲面結び目の不変量を構成する上で重要な概念の1つである。本研究において、この結び目対称カンドルの表示をプラット表示から導出する手法を開発した。また結び目対称カンドルの表示を用いることによって対称カンドル彩色数と呼ばれる曲面結び目の整数値不変量が得られる。これにより、対称カンドル彩色数とプラット指数の不等式評価を与えることができた。この結果の応用として、与えられた正整数をプラット指数に持つ曲面結び目を無限個構成することができた。(2) プラット指数の値が1となる曲面絡み目の分類はすでに判明している。本研究ではブレイド状曲面のブレイドシステムを用いることにより、狭義のプラット指数の値が2である2次元結び目はリボン型であることが分かった。本年度の成果については国内外の研究集会や日本数学会で口頭講演を行った。本成果をまとめた論文は投稿準備中である。

嵌入在四维空间中的闭合表面称为弯曲的表面结，与二维球相同相位的表面结为二维结。刀片状的表面是一个有界表面，在四维球体内具有分支涂料结构。平台显示是一种用于使用刀片状弯曲表面显示弯曲表面结的技术。通过参数化表面纠缠的平台显示的复杂性，定义了平台指数，该指数是正整数值的表面结的不变性。这项研究的目标是开发使用PLATT显示器理解表面结的必要基本理论，并就PLATT索引对表面结进行分类。今年进行了以下两项研究：（1）对称蜡烛是与弯曲结一起良好的代数系统。此外，打结对称蜡烛是对称蜡烛，相对于弯曲结的定义，是构造弯曲结的不变性的重要概念之一。在这项研究中，我们开发了一种从Platt显示器中得出这种结对称坎德尔显示的方法。此外，通过使用结的对称蜡烛显示，获得了曲面结的整数不变，称为对称的蜡烛着色数。这使我们能够对对称坎德尔的着色数和Pratt索引进行不平等评估。作为此结果的应用，可以用给定的正整数作为PLATT指数构建一个无限数量的弯曲结。（2）已经知道了platt索引值1的表面纠缠的分类。在这项研究中，通过使用刀片样的表面叶片系统，发现具有狭窄的Platt索引2的二维结是带形的。今年的结果是在国内和国际研究会议以及日本数学学会上进行的。目前正在准备提交这一发现的论文正在准备提交。