無限ネットワーク上の極値問題

Xを点の集合, Yを辺の集合, N={X,Y}を局所有限な無限ネットワークとする.1.N上に到達可能境界点πとXの部分集合AとY上の正値関数Cに関する極小仕事量N(A,π;C)と極大ポテンシアルN^〓(A,π;C)が一致することを示した.2.N上において, Aからπへのフローを2種類定義し, それに関する極大フローが一致することを示した.3.πとXの有限集合Aの間の極値的長さとそれに関する2つの極値的量を定義し, それ等が均しくなる十分条件を与えた.4.X上の実数値関数uに関する離散的ラプラシアンΔuと離散的ディリクレ積分D(u)を定義し, ロイデンアルゼブラD(N)と調和アルゼブラD(N)を導入し, 更にロイデンコンパクト化, ロイデン境界及び調和境界を導入した.5.Nの部分ネットワークN′の点集合X′上調和な有界関数とディリクレ積分有限な関数について一連の最大値原理が成立することを示した. ロイデン境界の点に関する極値的長さを定義し, 調和境界でないロイデン境界の点に関する極値的長さがつねに∞であることを示した.6.調和境界でないロイデン境界の点はその一点集合非Gδ集合であることを証明した. 一方, 連続的なリーマン面ではロイデン境界の点てあるための必要十分条件はその一点集合が非Gδ集合であるが, 調和境界の点で一点集合がGδ集合がある点が存在することを示した.

Xを点の集合, Yを辺の集合, N={X,Y}を局所有限な無限ネットワークとする.1.N上に到達可能境界点πとXの部分集合AとY上の正値関数Cに関する極小仕事量N(A,π;C)と極大ポテンシアルN^〓(A,π;C)が一致することを示した.2.N上において, Aからπへのフローを2種類定義し, それに関する極大フローが一致することを示した.3.πとXの有限集合Aの間の極値的長さとそれに関する2つの極値的量を定義し, それ等が均しくなる十分条件を与えた.4.X上の実数値関数uに関する離散的ラプラシアンΔuと離散的ディリクレ積分D(u)を定義し, ロイデンアルゼブラD(N)と調和アルゼブラD(N)を導入し, 更にロイデンコンパクト化, ロイデン境界及び調和境界を導入した.5.Nの部分ネットワークN′の点集合X′上調和な有界関数とディリクレ積分有限な関数について一連の最大値原理が成立することを示した. ロイデン境界の点に関する極値的長さを定義し, 調和境界でないロイデン境界の点に関する極値的長さがつねに∞であることを示した.6.調和境界でないロイデン境界の点はその一点集合非Gδ集合であることを証明した. 一方, 連続的なリーマン面ではロイデン境界の点てあるための必要十分条件はその一点集合が非Gδ集合であるが, 調和境界の点で一点集合がGδ集合がある点が存在することを示した.