一般線形群の指標の積公式、既約表現の次元公式と数え上げ組合せ論

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数え上げ組合せ論の重要性が置換群の表現理論の立場より再認識されてひさしい。一方計算可能な確率モデル(例えば最も簡単な例である二項係数は、原点より平面の格子点までの正方向の格子道全体を数え上げている。)豊富な組合せ構造を持っている事が知られている。これは確率、統計の理論と置換群(さらに広く群構造又は、群表現)との密接な関係を暗示している。実際、私は置換群の表現論の中に良く知られた自然な確率モデルが存在する事を次のように確認した。(1)“二人候補者の投票問題"は、反射原理、包含原理に基づいて前世紀末に解かれた。この多人数候補者の場合への一般化は上記二つの原理遠で解く事ができ、又この解は良く知られた置換群の表現の次元公式(Frame、Robinson、Thrallの公式)になっている。(2)この反射原理、包含原理による数え上げは一般線形群の指標の積の公式(Littlewood-Richaedson則)とその一般化の証明を与えている。