2階偏微分作用素の線形化とその関数論についての研究

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この研究の目的の1つは、2階偏微分作用素□=Σ^^n__<i,j=0>Cij(X)(γ^2)/(γXiγXj)+Σ^^n__<i=0>hi(X)γ/(γXi)+g(X) (Cij=Cji)に対して、Clifford代数に値をもつ関数を係数にもつ1階の偏微分作用素D=Σ^^n__<i=0>αi(X)γ/γXi+γ(X)を考え,微分方程式Df=0の任意の解が常に微分方程式□f=0の解となる(このとき,Dを□のlinearizationという)ような微分作用素Dの特徴付けを与えることであった。本研究では,□が定数係数の場合に,□のlinearization Dを完全に特徴付けた。また,□が一般の場合には,今後の問題であり,現在研究中である。次に,αi(X)をClifford代数に値をもつ(n+1)ー実変数の関数とする。1階の偏微分作用素Dα=Σ^^n__<i=0>αi(X)γ/γXi+Σ^^n__<i=0>γαi(X)/γXiと微分形式ω=Σ^^n__<i=0>(-1)^iαi(X)ωi,ωi=dX_0ΛdX_1ΛーーーΛdX_<i-1>ΛdX_<i+1>ΛーーーΛdXnを考え,Clifford数値関数f(X)の正則性をd(ωf)=0をみたすなめらかな関数として,定義した。このとき,正則関数と微分方程式Dαf=0のなめらかな解であることとは同値となる。この研究では、上で定義したClifford正則関数に対して,その関数論が構成される(コ-シ-タイプの積分公式が成立する。)ための微分作用素Dαの特徴付けを与えた。なお,ここで構成された、Clifford正則関数は従来R.Delanghe(Math.Ann.185(1970))によって構成されたClifford regular関数論の一般化になっていることに注意する。また,□のlinearization Dを用いた関数論が成立するような□の完全な分類は今後の問題であり,現在研究中である。最後に、研究分担者はそれぞれの方向で研究し,知見を深め,広めたことを附記する。