完備開曲面上の全曲率について

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各研究分担者は関係図書を購入し関係する研究に出張,参加し研究仲間と情報を交換し意見を交わした。目的とした研究課題については当初のもくろみ通り「M_1,M_2を連結,完備、向き付可能な非緊密な2次元リ-マン多様体とし更に有限な全曲率C(M_1),C(M_2)をもつものとする。この時C(M_1)とC(M_2)の差はそれぞれのオイラ-数X(M_1)とX(M_2)の差の2π倍に等しい」という結果を得た。近く論文にまとめ投稿予定である。当初,Hausdorff近似されているリ-マン2次元多様体のendの状況はほぼ等しいことがいえ非緊密な場合の全曲率の評価として知られている結果「Mを連告,完備,向き付け可能,非緊密,有限連結な2次元リ-マン多様体とする。pAIMを固定しS(t):={xAIM;d(x,p)=t},L(Slt)をS(t)の長さとする時lim L(S(t))/t=2πX(M)-C(M)」(K,Shiohama,Tota1 Curvalures and Minimal Areas of Complete Open Surfaces,Proc.Amer.Math.Soc.Vol.94 1985)から目的の結果が得られると考えたが、事情はもう少し複雑である。endの状況を調べるためにはideal boundaryM(∝)までもちこみM(∝)におけるTitz metric d∝を用いて評価する必要が生じた。このためT.Shioya,The Ideal Boundaries of Complete Open Surfaces,Tohoku Math.J.Vo1.43 1991における結果を全面的に用いた。