非線形ポテンシャル論の研究

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研究課題「非線形ポテンシャル論の研究」について得た主な結果は、次の(1),(2)である.(1)kを核とするとき,kにある条件をつけるとmixed normed space L^<P,q>(R^d)(1<P,q<∝)に密度fをもつkーポテンシャルk(ξ,f)=∫k(ξ,n)f(n)dnはquasicontinuousである.このとき,容量は,次のように定義する.ACR^dとして,C_<k,p,q>(A)=inf{||f||^P_<p,q>;f≧0,fcL^<p,q>(R^d),k(ξ,f)≧1onA}.(2)L^p,q(R^d)における弱収束列を{fj}とする、fj≧0,fj→f(弱収束).このとき,C_<k,p,q>({ξ∈R^d;liminf k(ξ,fj)【thermodynamics】k(ξ,f)})=0が成り立つ.L^<p,q>(R^d)に密度をもつkーポテンシャルの性質について、もっと調べることがある。例えば、p,qの役割がどのようなものであるかなど、上記の結果(1),(2)を平成3年12月9日〜12月12日に兵庫県城崎町において開かれたポテンシャル論研究商会(総合研究(A),代表者藤家龍雄「解析写像の研究」の分担課題「ポテンシャル論」研究分担者水田義弘)において「mixed normをもつ空間L^<p,q>(R^d)に密度をもつポテンシャル列の収束についての一注意」として発表した.この時,広島大学,前田文之,水田義弘両教授と学習院大学大津賀信教授とL^<p,q>(R^d)に密度をもつベッセルポテンシャルについてのいくつかの問題について研究連絡を行う。以前から考えていたN進展開におけるGoodの問題(Egglestonによってすでに解決されている)をN進展開におけるカント-ル型集合のハウスドルフ測度の評価を行うことによって解いた、この別証を論文として発表したいと考えている。