確率場における間欠性の問題

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ランダム・ポテンシャル項を持つ熱方程式の解の間欠性についての研究の第一歩として、最も基本的な例であるホワイトノイズをポテンシャル項として持つ物に対して考察を加えた。状態空間が格子点(Z^d)である場合にはS.A.MolchanovとJ.Gartnerによって詳しい解析が為されている。そこで状態空間が連続(R^d)の場合を考えてみた。この場合の第一の難点は解の構成である。離散的な場合にはFeynman-Kacの公式により解の確率論的表現が容易に得られる。しかしながら事がひとたび連続になるとポテンシャルの特異性から、この公式を適用することはできない。そこでこの場合にはSkorohod積分の理論に訴えることにした。その結果状態空間が1次元の場合(R^1)にWiener chaosを通じて解を構成することができた。ただし2次元以上の場合にはGauss核が時間に関して積分可能でないという事情により解の構成に至っていない。次に1次元の場合の解の漸近挙動について調べてみた。その結果解のL^pノルムの対数がt^3のオーダーで発散することがわかった。しかしこのL^pノルムの対数をt^3で割ったときの極限値(p次Lyapunov exponent)までは得られなかった。じつはこのLyapunov exponentのる累増性が間欠性を特徴付けるものであり、その意味でははなはだ不満の残る結果なのだが、Skorohod積分の理論を通じて得られる結果としてはこれが限界ではないかと思われる。