ラプラス型漸近解析とその応用

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時間,空間のミクロなスケールにおける力学の方程式から出発し,適当なスケーリングの後,マクロの非平衡の統計力学的方程式を導出する問題を,流体力学的極限導出の問題という。その問題において,いくつかの簡単なモデルに対して厳密な数学的導出が成功しているが,物理的にもっとも本質的な問題,すなわち粒子系のハミルトン方程式系から出発し,マクロの極限としてEuler(オイラー)方程式を導くことは,まだ成功を見ていない.近年その問題において,いくつかの予備的な考察が行なわれはじめた.それは,ハミルトン力学系にランダム性を加えたストカスティクな(確率論的な)系を考える事,さらにハミルトニアンのエネルギーとして,その導関数が有界であるようなものをとる事,の2点が主な変更点になっている.(Olla-Yau-Varadhanの結果.)第1の変更点は,系のエルゴード性を保障するために本質的に重要な条件であるが,2番目のそれは,エネルギー関数として運動量の2乗がとれない事になり極めて不自然な条件である。そこで筆者は2番目の条件をとり除く形で問題設定を行い,上記のオイラー方程式導出の問題で成功を見た。その副産物として,平衡系のエルゴード性,すなわち系の任意の変換不変な測度は,いわゆるギブス測度の重ねあわせで表現されるという主張も証明された.現在それらの結果を報告する論文の準備中である.