三次元多様体及び軌道体について

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軌道体の分類を行うこととその多様体論への応用は重要な研究課題であるので、それを中心に、3次元軌道体の研究を進めてきた。今後の目標としては必ずしも有限一意化可能とは限らない3次元軌道体の分類定理と、その応用としてのグラフの分類定理があり、今年度はその準備段階としての必ずしも有限一意化可能とは限らない3次元軌道体に関する、ループ定理、球面定理、デーンの補題の論文を完成し現在投稿中です。またその証明の手法を発展させて悪い球面を含まない3次元軌道体の被覆軌道体が再び悪い球面を含まない3次元軌道体になる事と既約な軌道体の被覆軌道体が再び既約な軌道体になる事を証明し、これもあわせて投稿中です。そのほかに今年度得た成果としては、3次元球面軌道体上の軌道体写像を3次元球面的軌道体上の錘からの軌道体写像に拡張する定理、三角軌道体上の区間束の境界間の軌道体写像を三角軌道体上の区間束からの軌道体写像に拡張する定理、および三角軌道体上の軌道体写像で基本群の同型を導くものは軌道同型写像と軌道ホモトピックであるという定理等があります。これらは、分類定理の証明に必要となります。必ずしも有限一意化可能とは限らない3次元軌道体の分類定理についてはほぼ証明を終え論文準備中です。更にこの分類定理を発展させるために3次元軌道体の三角部分軌道体による分解の存在とその一意性に関する定理を現在検討中です。この定理の証明で3次元多様体の分類定理の拡張という方向の研究は一応の終結を向かえます。