調和写像とループ群作用

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当初の目的通り、r組のextra eigenfunctionsを持つ調和球の研究を行い,それを用いて単位球面S^nの中の次数dの2-調和球のModuli空間の構造を解析できた.単位球面S^n中の次数dの2-調和球全体のModuli空間Harmd(S^n)の中にはr組のextra ligenfunctionを持つ2調和球の作る部分集合Er(S^n)が入っている.これが代数的構造を持つこと,codim2を持つことなどは以前からわかっていたが,今回Erの元とr組のextra eigenfunctionの組f_1…f_rを用いて,Er(S^n)の元をHarmd(S^<n+2r>)の元へSmoothに変形できること,又このような変形の自由度(具体的な表現),又逆にHarmd(S^<n+2r>)のgenericは元はこのような変形でErの元と結べることなどを示すことができた.この結果を用いると帰納的にHarmd(S^N)の構造を余次元の低い球面内の2調和球のModuli空間Hand(S^n),(n<N)で書きあらわしていくことができる,又Erの持つ代数的構造と変形の具体的な表現などを用いて,Hand(S^N)の代数構造を調べることもできる.今後の課題として,r組のextra eigen functionsを許容する2-調和球の代数的な条件を更に詳しく調べること,E_rのHand(S^n)中での余次元を調べることなどが考えられる.又今回エネルギーを保つ変形の議論を行ったが,エネルギーを失う変形(bubble-off)についても上で作った変形の具体的表現が適応できるように思える。実際n=4の場合は指定されたエネルギーロスを持つ変形をきちんと書き下すことができる。これらを一般の次元に拡張してHamd(S^n)のコンパクト化の理論を完成する方向へと発展できると思う.