ヴィット群の拡張と幾何学的応用の研究

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平成8年度のヴィット群の研究において、次のような進展があった。(1)ヴィット群を拡張し3次元の多様体における手術障害類を定めるために有効な、幾何学的(すなわち束構造の拡張可能性を数値化して得られる)2次形式の定式化ができた。現在、この結果を用いて3次元の手術理論を研究している。(2)ヴィット群とバーンサイド環の関係を利用して、球面上の滑らかな作用の不動点集合の構成法を与えた。K.Pawalowski氏を含めた共同研究により、この成果を用いて巾零なオリバー群の球面上の滑らかな作用の不動点集合の決定を行った。この応用について、2つのシンポジウムSurgery and Geometric Topologyおよび変換群論シンポジウムで講演を行った。また、これらの結果に関する論文を現在作成中である。巾零でないオリバー群に関しては今後の研究課題である。(3)柳原守氏を含めた共同研究により、コンピュータソフトGAPを用いて同変手術理論に適合する接空間表現を見出すためのプログラムを簡素化し、計算時間を短縮した。このプログラムについて、シンポジウムトポロジーとコンピュータで講演を行った。(4)手術障害類群としてヴィット群をコボルディズム群としてのヴィット群を用いて群構造を解明するアイデアを得た。詳しい計算は今後の課題である。この科学研究費補助金によって、多くの数学者とアイデアや研究情報の交換など研究交流を行うことができたことは、研究の大いなる助けとなった。