安定写像を用いた大域的特異性と多様体のトポロジーの関連性の研究

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今年度は折り目写像全体からなる空間の連結成分数を決定するという研究を行った.向き付けられた2次元球面から平面への折り目写像で,赤道にのみ折り目特異点を持つ様な写像空間を考える.この空間のホモトピー型については1970年代にEliashbergがh-principleを用いて決定している.しかし彼の方法は非常に難解である上,具体的に計算しているのは上記の一例だけである.そこで私はより幾何的で扱い易く,具体的に計算可能な方法を作り出す事を目標とした.特に上記の例に対してEliashbergの別証明を与える事を目指した.まず,exotic fold mapという折り目写像のクラスを定義し,その中でMilnorの例から得られる標準形を2つ与えた.この2つのexotic fold mapsがexotic fold maps全体からなる空間の中でgeneric fold homotopyで結べる事を具体的に示した.また,標準的な射影から得られるstandard fold mapと呼ばれるものを定義し,この折り目写像とexotic fold mapは同じ連結成分に入っていないが,concordantである事も具体的に示した.以上の結果は,9月の札幌での第12回日本数学会国際研究集会「Singularity Theory and Its Applications」で発表した.この研究の続きとして,上記の空間の連結成分数を決定するためのより幾何的で扱い易い方法を作り出す事に成功した.この結果は11月の京大数理研での研究集会「特異点論における新しい方法と対象」で発表した.現在は上記の例に対して具体的に計算し,Eliashbergの別証明を与える事を目指している最中である.この手法は応用が広いため,上記の例以外でも様々な折り目写像の空間について具体的に計算できる可能性が高い.その意味でこの研究は来年度以降にも引き続き行う予定である.また昨年研究した内容である,向き付け可能な3次元閉多様体から平面への安定写像における半局所1次Vassiliev型不変量については,"First order semi-local invariants of stable maps of 3-manifolds into the plane"というタイトルで博士論文としてまとめ,九州大学に提出した.