非線形偏微分方程式の適切性に関する統一理論の構築

非线性偏微分方程适用性统一理论的构建

基本信息

批准号：
13304008
负责人：
小薗英雄
金额：
$ 6.24万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

1.Navier-Stokes方程式に関するミレニアム問題の解説3次元Navier-Stokes方程式の大きな初期値に対する時間大域的滑らかな解の存在問題は,2000年にクレイ研究所からミレニアムにおける数学の7つの難題のひとつとして提唱された.本研究では,Lerayによる時間大域的な弱解の存在からはじめて,Serrinによる一意正則な弱解のクラスL^s(0,T;L^r(R^n)),2/s+n/γ【less than or equal】-1を中心に総合的な解説を行った.とくに,スケール不変則に対する藤田-加藤の原理を紹介し,同方程式の時間局所的な強解C([0,T);L^n(R^n))の果たした重要性を指摘した.解の特異点集合のHausdorff次元の評価,除去可能孤立特異点の特徴付け,後進自己相似解による爆発解の非存在についても触れた.調和解析学における最近の研究成果が,Navier-Stokes方程式の考察に寄与した例を2,3挙げ,今後の研究の指針を与えた.2.Navier-Stokes方程式の適切性と流体力学との関連流体力学サイドにおいては,今日,計算機能力の飛躍的な進歩に伴ってNavier-Stokes方程式の解を数値実験によって求め,乱流をも含む様々な流れの場を矛盾なく説明しているようである.一方,コンピューターを用いる以前に,まずは解析計算によって解の性質を調べようと試みる古典的な純粋数学の立場もある.本研究では,Navier-Stokes方程式の数学サイドから研究を紹介し,ミレニアム問題を中心とした同方程式に関する課題を解説した.とくに,「乱流の発生が解の正則性の崩壊と対応している」との数学者の見解と,多くの流体力学者によって指示されている「乱流の発生にはの解の特異性の議論は必要ない」との知見との比較を行った.渦度が有限でとどまる限り,解の正則性が保証されることに注目し,乱流発生が渦度の挙動と密接な関係にあることを偏微分方程式の適切性に関する研究から解き明かした.3.Navier-Stokes方程式の軟解とエネルギー等式Navier-Stokes方程式から導かれる積分方程式の解を"軟解"(mild solution)という.Katoは,初期値α∈L^n(R^n)であれば,あるT>0とC([0,T);L^n(R^n))に属する一意的な軟解uが存在することを示した.本研究では,L^2(R^n)∩L^n(R^n)に属する初期値をもつ"すべての軟解"uはLeray-HopfクラスL^∞(0,T;L^2(R^n))∩L^2(0,T;H^1(R^n))に属し,かつエネルギー等式を満たすことを証明した.

1。对Navier-Stokes方程的千年问题的解释是，在2000年，Clay Institute提出了三维Navier-Stokes方程的庞大初始值的存在，这是2000年千年中千年数学挑战之一。在这项研究中，从Leray的存在时间全球弱点解决方案开始，Leray是Serrin独特的常规弱点解决方案L^s（0，T; l^r（r^n）），2/s+n/γ[小于或全面解释的重点是相等] -1 -1。特别是，引入了藤塔 - 卡托的规模不变性原则，以及等式的时间局部强溶液C（[0，t）; l^n（r^n））的重要性。他还提到了对奇点集的Hausdorff维度的评估，可移动孤立的奇异性的表征以及通过向后的自相似解决方案缺乏爆炸性解决方案。和谐分析的最新研究结果包括，我们列出了一些有助于考虑Navier-Stokes方程的示例，并为将来的研究提供了指南。 2。在当今流体动力学方面的Navier-Stokes方程的适当性以及流体力学之间的关系，随着计算功能功率的快速进步，似乎可以通过数值实验来确定Navier-Stokes方程的解决方案，以及通过不矛盾的湍流来确定包括各种流动场（包括湍流）。另一方面，我们使用计算机来解释各种流场。在使用TER之前，还有一个经典的纯数学位置，该位置首先尝试通过分析计算研究解决方案的性质。在这项研究中，我们从Navier-Stokes方程的数学方面介绍了这项研究，并解释了与该方程相关的问题，以千年问题为中心。 In particular, mathematicians' views that "the occurrence of turbulence corresponds to the collapse of the regularity of the solution," and the "evolution of turbulence, which has been directed by many fluid mechanics. We compared the findings that "the singularity of solutions is not necessary for life." We focused on the guarantee of the regularity of solutions as long as the vorticity remains finite, and we explained the fact that turbulent generation is closely related to the对部分微分方程的适当性进行的涡度的行为3。软解决方案的“ u具有属于l^2（r^n）∩l^n（r^n）的初始值属于leray-hopf类l^∞（0，t; l^2（r^n））∩l^2（0，t; t; h^1（r^n）），并满足能量方程。