数理ファイナンス

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数理ファイナンスにおける流動性の問題の一つとして、投資家の証券の売買が証券価格を変動させてしまうマーケット・インパクトの問題があるが、その影響を考慮した市場モデルにおける最適執行戦略について、昨年に引き続き研究を行った。昨年度の研究では、証券価格の変動は幾何ブラウン運動またはオルンシュタイン・ウーレンベック過程に対応する確率的流れに従っているとし、また投資家の売却行動が証券価格に与えるマーケット・インパクトは、その対数価格に対して線形である時に、離散時間モデルにおける投資家の最適執行問題に対応した値関数は、取引時刻の間隔を短くすることにより、連続時間モデルにおける最適執行問題の値関数に相当する関数に収束することを示した。今年度はこの結果を一般化し、証券価格の変動を記述する確率微分方程式及びマーケット・インパクトを与える関数をより一般のものとした時に、適当な仮定の下で、上と同様の収束定理を得た(この時、連続時間モデルにおけるマーケット・インパクトに相当する関数は凸となる)。また今年度は、上で得られた連続時間モデルの値関数が満たす性質について研究を行った。特に昨年度の結果の拡張として、連続時間の値関数の時刻に関する連続性について、原点以外では常に連続性が成立するが、原点における連続性はマーケット・インパクトを与える関数の無限遠点での挙動に依存することが分かった。さらに、連続時間の値関数が定める非線形作用素は(連続性如何に関わらず)半群生を満たすことを示し、それを用いて、値関数がある非線形偏微分方程式(ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式)の粘性解となることを示した。