理論物理への応用に向けての格子化の新しい定式化

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V de B氏は博士論文の定式化の拡張として、ゲージ場まで拡張した格子上でのWhitney formsを用いた場の理論の定式化に取り組んできており、その定式化の完成が滞在中の研究テーマの一つであった。この定式化の持つ最大の特徴は、微分形式とホモロジーを基礎とした格子上での定式化になっており、これまで達成されていない格子上のトポロジーを導入した定式化になっている。この部分の数学的な定式化は定義されて上記のまとめとして出版されることになっている。一方この定式化を場の理論の定式化として発展させるために受け入れ研究者の私と色々議論を行ってきた。その結果この定式化では、格子上のシンプレックスを特徴付けるために、それぞれの基本単体に幾つかのパラメーターが導入され、これ等のパラメーターが基本単体の部分形式の導入としてトポロジーの性質を取り入れる役割をしており、具体的な格子計算を行ったときにこれ等のパラメーターの役割を明らかにする必要があるが、この点の問題点が依然として残されておりこの定式化が場の理論の定式化として役に立つかの判断が問われておりこの点に課題が残っている。また、受け入れ研究者である私は格子上のゲージ超対称理論の定式化を調べてきており、限られた場合であるがその定式化が完成した。この観点からV de B氏の定式化にどのような関係があるかは、興味のある問題であり議論を続けてきた。V de Bの定式化は、格子上で問題になる微分作用素がライプニッツ則を満たさないという困難が回避できる定式化に成っているのに対し、我々の定式化は超対称電荷をリンクの上に乗せ行列の概念を導入することによりライプニッツ則を満たす代数構造を導入している。これ等の関係を明らかにすることにより、トポロジーと代数構造の関連が明らかになると期待されるが上記のWhitney formsと関連されて導入されるパラメーターの問題との関連が明らかになっていない。そこで我々はこの関連を明らかにすることを一旦離れて、我々の模型の行列模型としての定式化の共同研究を開始し、一つの回答を得ている。ツイストされた超対称ヤング・ミルズの格子上での定式化は行列表式で具体的に表現することが出来ることを示し、現在これに関して論文作成段階にある。